2024-2025学年天津市部分区高二（下）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.( ) A. B. C. D. 2.函数的导数是( ) A. B. C. D. 3.一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，若该质点的瞬时速度为时，则( ) A. B. C. D. 4.在高二某班级中，有名同学要参加足球、篮球、乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有( ) A. B. C. D. 5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于的说法正确的是( ) A. 在区间上是减函数 B. 是极小值点 C. 在上一定没有最大值 D. 最多有四个根 6.有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有多少种不同的停放方法？( ) A. B. C. D. 7.函数的极值点的个数为( ) A. B. C. D. 8.在的展开式中，含的项的系数是( ) A. B. C. D. 9.设函数，有下列命题： 当时，有三个零点； 当时，是的极小值点； 存在实数，，使得在区间上存在最大值． 其中是真命题的个数是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.函数的导数为_____． 11.的展开式中常数项为_____． 12.第九届亚洲冬季运动会于年月在哈尔滨成功举行名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去个场馆，每个场馆至少安排人，则所有不同的安排种数为_____用数字作答 13.在不超过的质数中，随机挑选三个不同的数，则它们的乘积为偶数的组合方式共有_____种请用数字作答 14.已知函数，，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是_____． 15.已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为_____． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值． Ⅰ求，的值； Ⅱ求的极小值． 17.本小题分 袋子中有个大小相同的小球，其中个红球，个白球取一个红球得分，取一个白球得分，现在从袋子中随机取出个球，要求必须同时取出红球和白球． Ⅰ请问有多少种取法能够使得总分数不超过分？请用数字作答 Ⅱ当总分数恰好为分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？请用数字作答 18.本小题分 已知的展开式的二项式系数和为． Ⅰ求的值； Ⅱ若展开式的第项的系数为，求实数的值． 19.本小题分 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为． Ⅰ求实数，的值； Ⅱ求的零点个数． 20.本小题分 已知函数，其中． Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程； Ⅱ若的最大值是，求的值； Ⅲ设函数，若有两个极值点，，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：Ⅰ，， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 和是方程的两根， 有，； Ⅱ由Ⅰ知，， 当时，取得极大值， ，， 此时函数的极小值为． 17.解：Ⅰ设取出个红球，个白球，其中，，，， 则且， 则，或，， 则有种取法能够使得总分数不超过分； Ⅱ当总分数恰好为分时， 则取出个红球，个白球， 则红球互不相邻的不同排列方式有种． 18.解：Ⅰ的展开式的二项式系数和为，得，解得； Ⅱ若展开式的第项的系数为，即， 解得． 19.解：Ⅰ因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以，解得； Ⅱ由Ⅰ知，， 所以， 令，得或， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，， 当时，；当时，， 所以有个零点． 20.解：Ⅰ当时，则， 可得，， 即切点坐标为， ... ...
