湖南省部分学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知，若复数，则（ ） A.2 B.3 C. D. 3．已知直线与圆相交于两点，，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4．已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D.-1 5．已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为是双曲线上的一点，且，则（ ） A. B.5 C. D.或 6．已知函数，则使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（ ） A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 8．甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在4月21日到4月23日这三天中的一天到达上海，他们在哪一天到达上海相互独立，且他们各自在4月21日到4月23日到达上海的概率如下表所示： 4月21日 4月22日 4月23日 0.2 0.3 0.5 若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A.2020至2024年我国快递业务量逐年增长 B.2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件 C.2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是19.4％ D.估计我国2019年的快递业务量大于500亿件 10．已知边长为2的正方形ABCD的边CD上有一点（不含端点），边BC上有一点，且，如图1所示．现把沿EF折起到的位置，得到棱锥，如图2．设，棱锥的体积的最大值为，则（ ） A.是单调递增函数 B.函数先单调递增后单调递减 C.当平面平面ABFED时，AP的长有最小值2，没有最大值 D.函数有最大值，没有最小值 11．已知不等式对任意成立，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D.e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，且，则_____． 13．已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为_____． 14．已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”．例如数列满足，则其“序数列”为2，3，1．若有穷数列满足，且数列的“序数列”单调递减，数列的“序数列”单调递增，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 16．（15分）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． （1）求的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 17．（15分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，是BC的中点，是侧面内的一点（含边界）． （1）若是侧面的中心，证明：． （2）若平面，试求点的轨迹的长度． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知一个盒中装有3个大小、形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． （1）经过2次操作后，记盒中红球的个数为，求的分布列； （2）求第3次操作取到红球的概率； （3）设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前项和． 19．（17分）已知函数，且的图象在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）若是在上的一个极值点，证明：． 高二数学试卷参考答案 1．D ． 2．C 因为，所以，则． 3．B 设圆心到直线的距离为，则．因为，所以，解得． 4 ... ...
