中考预测专题（十）圆（PDF，含答案）

数学中考预测题 （十）圆 教材母题 例 1.如图 H10-1，A，B，C，D 是☉O 上的四个点，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2，ED=4， 求 AB 的长. 解：∵AB=AC，∴ = .∴∠D=∠ABC. 又∵∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB. ∴ = ，即 AB2=AE·AD. ∵AE=2，ED=4，∴AD=AE+ED=2+4=6. ∴AB2=2×6=12，即 AB=2√3. 48/55 数学中考预测题 中考预测 1. （母题改编）如图 H10-2，在△ABC 中，AB=AC，☉O 为△ABC 的外接圆，且☉O 的半径为 3，过 C 作 CD∥AB，CD 交☉O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E. （1）尺规作图：延长 DC 至点 F，使 CF=AC，连接 AF；（保留作图痕迹，不写作法） （1）解：如答图 H10-2 ， CF，AF 即为所作. 49/55 数学中考预测题 （2）在（1）的条件下，求证：AF 是☉O 的切线. （2）证明：如答图 H10-2 ，连接 OA. ∵AB=AC，∴ = . ∴OA⊥BC. ∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD. ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠ACB=∠BCD. ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=2∠ACB. ∵CF=AC，∴∠CAF=∠AFC. ∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF. ∴2∠ACB=2∠CAF. ∴∠ACB=∠CAF.∴AF∥BC. ∵OA⊥BC，∴OA⊥AF. ∵OA 是☉O 的半径，∴AF 是☉O 的切线. 50/55 数学中考预测题 教材母题 例 2.（人教版九上 P102）如图 H10-3，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AD 和过点 C 的切 线互相垂直，垂足为 D.求证：AC 平分∠DAB. 证明：如答图 H10-1 ，连接 OC. ∵CD 为☉O 的切线，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴OC∥AD.∴∠1=∠2. ∵OC=OA，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∴AC 平分∠DAB. 51/55 数学中考预测题 中考预测 2. （母题改编，综合探究）如图 H10-4①，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AC 平分∠DAB， AD⊥CD 于点 D. （1）求证：CD 是☉O 的切线； （1）证明：如答图 H10-3 ，连接 OC. ∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC. ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA. ∴∠OCA=∠DAC.∴AD∥OC. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC 为☉O 的半径，∴CD 是☉O 的切线. 52/55 数学中考预测题 （2）如图 H10-4②，若 AC=4√3，BC=4，P 是半圆 的中点，连接 CP，AP，BP，求 CP 的 长； （2）解：∵AB 为☉O 的直径，∴∠ACB=90°. 在 Rt△ABC 中，AC=4√3， = 4， ∴ ∠ = = √3. ∵ = ， ∴ ∠ = ∠ . ∴ ∠ = √3. 1 ∵P 是半圆 的中点， ∴ ∠ = ∠ACB=45°. 2 √2 如答图 H10-4 ，过点 A 作 AE⊥CP 于点 E，则 AE=CE= = 2√6. 2 2√6 ∴tan∠APC= = = √3.解得 = 2√2 . ∴ = + = 2√2 + 2√6. 53/55 数学中考预测题 （3）如图 H10-4③，P 是半圆 的中点，CP 交 AB 于点 M，作 PH⊥AC 于点 H，交 AB 于点 N，试探究 MN，AN，MB 之间的数量关系. （3）解：∵P 是半圆 的中点， ∴∠PCA=∠PCB=∠ABP=∠PAB=45°，PA=PB. ∴△PCH 为等腰直角三角形.∴∠HPC=45°. 如答图 H10-5 ，过点 P 作 PQ=PA 且使∠NPQ=∠NPA，连接 QM. ∵PN=PN，∴△PNA≌△PNQ（SAS）. ∴QN=AN，∠PQN=∠PAN=45°. 过点 P 作 PT⊥CB，交 CB 的延长线于点 T，则 PT=PH，△PCT 为等腰直角三角形，则∠CPT=45°. 54/55 数学中考预测题 ∵PA=PB，∴Rt△PBT≌Rt△PAH（HL）.∴∠APH=∠BPT. ∵∠HPC=∠QPM+∠NPQ=∠QPM+∠APH=45°， ∠CPT=∠BPT+∠BPM=45°， ∴∠QPM=∠BPM. ∵PQ=PA=PB，PM=PM，∴△PMQ≌△PMB（SAS）. ∴∠PQM=∠PBM=45°，MQ=MB. ∴∠MQN=∠PQM+∠PQN=45°+45°=90°. 在 Rt△MNQ 中，MN2=QN2+MQ2，又∵QN=AN，MQ=MB， ∴MN2=AN2+MB2. 55/55数学中考预测题 （十）圆 教材母题 例 1.如图 H10-1，A，B，C，D 是☉O 上的四个点，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2，ED=4， 求 AB 的长. 中考预测 1. （母题改编）如图 H10-2，在△ABC 中，AB=AC，☉O 为△ABC 的外接圆，且☉O 的半径为 3，过 C 作 CD∥AB，CD 交☉O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E. ... ...