中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 平面向量范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 【知识点梳理】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 题型一：定义法 【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ． 【变式1-1】（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . 【变式1-2】（24-25高一下·重庆·阶段练习）在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为: 【变式1-3】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 题型二：坐标法 【例2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为 . 【变式2-1】（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ． 【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 . 【变式2-3】（24-25高一下·天津河西·期中）在中，,点是线段上的动点，则的最小值为 ；当取得最小值时, . 题型三：基底法 【例3】（24-25高一下·陕西·期中）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 . 【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ． 【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 题型四：几何意义法 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 . 【变式4-1】（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是 . 【变式4-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ． 【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ） A． B．0 C． D． 【强化训练】 1．（23-24高一下·甘肃·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为3，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 . 2．（24-25高一下·广东茂名·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是 . 3．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知平面向量，，满足，， ... ...
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