2024-2025学年福建省漳州三中高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若向量，，且，则( ) A. B. C. D. 2.已知随机变量服从正态分布，且，则( ) A. B. C. D. 3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则( ) A. 密码被成功破译的概率为 B. 恰有一人成功破译的概率为 C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码破译失败的概率为 4.如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数有个不同的零点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.关于空间向量，以下说法正确的是( ) A. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若空间向量，，则在的投影向量为 7.设，，，则( ) A. B. C. D. 8.设函数，则下列说法正确的有( ) A. 不等式的解集为 B. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 C. 当时，总有恒成立 D. 函数在单调递增，在单调递减 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题正确的有( ) A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则( ) A. 直线与所成的角为 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11.如图，某电子实验猫线路图上有、两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，、两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在、两处遇到红灯的次数之和为，则( ) A. B. C. 一次实验中，、两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一个盒子里有红绿黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为_____． 13.已知直三棱柱中，，，，，则点到直线的距离为_____． 14.若函数和的图象分别分布在某直线的两侧函数图象与直线没有公共点，则称该直线为函数和的“隔离直线”已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某年级有名数学老师，其中男老师人，女老师人，任选人参加校级技能大赛． 设所选人中女老师人数为，求的期望和方差； 如果依次抽取人参加县级技能大赛，求在第次抽到男老师的条件下，第次抽到是女老师的概率． 16.本小题分 已知函数． 若在处取得极值，求函数的单调区间和极值； 若恒成立，求实数的取值范围． 17.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点． 求证：当点为线段的中点时，平面； 设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由． 18.本小题分 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响． 已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． 求测试结果为语音识别成功的概率； 已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； 已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试次；方案二：先测试次，如果这次中成功次数小于等于次，则再测试次，否则不再测试为降低测试成本 ... ...
