第6章 微专题 三角形解的个数问题 课时跟踪检测 A组·基础巩固 1．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝( ) A．1 B．2 C．2 D．2 【答案】 C 【解析】 由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理＝，因此，AC＝＝2.故选C． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝4，c＝6，C＝60°，则cos B＝( ) A． B． C．± D．± 【答案】 A 【解析】 由正弦定理得＝，代入数据可得，sin B＝，又∵b＜c，∴B＜C，∴cos B＞0，∴cos B＝.故选A． 3．在△ABC中，若＝，则C＝( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】 B 【解析】 由正弦定理，知＝，∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，又∵0°＜C＜180°，∴C＝45°. 4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，bcsin A＝8sin B，a＝2，则b＝( ) A．4 B．2 C．2 D．2 【答案】 B 【解析】 因为bcsin A＝8sin B，所以abc＝8b，即ac＝8.又a＝2，所以c＝4，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，从而b＝＝2，故选B. 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是( ) A．当k＝5时，△ABC是直角三角形 B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形 C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形 D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形 【答案】 ABC 【解析】 对于A，当k＝5时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝5，b＝3，c＝4，a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形；对于B，当k＝3时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝3，b＝3，c＝4，显然△ABC是等腰三角形，且C为最大角，a2＋b2－c2＝9＋9－16＝2＞0，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形；对于C，当k＝2时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝2，b＝3，c＝4，可得a2＋b2－c2＝4＋9－16＝－3＜0，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形；对于D，当k＝1时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝1，b＝3，c＝4，此时a＋b＝c，不能构成三角形，故结论错误．故选ABC． 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有( ) A．A∶B∶C＝a∶b∶c B.＝ C．若A＞B，则a＞b D．若A＞B，则sin A＞sin B 【答案】 BCD 【解析】 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A选项错误；设＝＝＝k，则＝＝k＝，B选项正确；在三角形中，大角对大边，所以C选项正确；若A＞B，则a＞b，由正弦定理＝，得sin A＞sin B，D选项正确．故选BCD. 7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足a－2b＋c＝0,3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C＝_____. 【答案】 3∶5∶7 【解析】 由a－2b＋c＝0,3a＋b－2c＝0，得a＝c，b＝c，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝c∶c∶c＝3∶5∶7. 8．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝_____. 【答案】 或 【解析】 由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈(0，π)，a＞b，∴A＞B，∴A＝或. 9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝_____. 【答案】 1 【解析】 在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，∴B＝或B＝π.又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1. 10．在△ABC中，根据下列条件解三角形： (1)A＝30°，C＝105°，a＝2； (2)b＝3，c＝3，B＝30°. 【解析】 (1)∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－(A＋C)＝45°. ∵＝＝， ∴b＝＝＝2， c＝＝＝＋. ∴B＝45°，b＝2，c＝＋. (2)由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝. ∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－(B＋C)＝30°＝B，∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. B组·综合运用 11．△ABC中，B＝60°，最大 ... ...
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