第六章 专项提升 解三角形中的综合问题 课时跟踪检测 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC为( ) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】 A 【解析】 ∵向量m，n共线，∴acos ＝bcos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ，∴2sin ·cos cos ＝2sin cos cos .∵cos ≠0，cos ≠0，∴sin ＝sin .∵0＜＜，0＜＜，∴＝，即A＝B，同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选A． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝( ) A． B． C．2 D．3 【答案】 A 【解析】 ∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos∠BAC＝＝，∵B＝，∴∠BAC∈，∴∠BAC＝，∴C＝，∴＝，∴c＝×＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝，∴∠AEB＝π－－＝，∴＝，∴AE＝＝×sin ＝×＝. 3．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为( ) A． B．3 C． D．4 【答案】 C 【解析】 由题意结合正弦定理得sin C＝2sin Bcos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值舍去)，即a＝b＝2.由余弦定理可知AB＝＝＝2.设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝＝＝＝.故选C． 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB＝( ) A．－ B． C． D．± 【答案】 B 【解析】 因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＞c，所以B＞C．又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝.故选B. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为( ) A．8 B．6 C．3 D．4 【答案】 D 【解析】 ∵BC边上的高为a，∴S△ABC＝a×a＝bcsin A，∴a2＝2bcsin A，由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin.∵A∈(0，π)，∴A＋∈，∴当A＋＝，即A＝时，4sin有最大值，且最大值为4.∴＋的最大值为4. 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 B 【解析】 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ ①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ ②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2 ③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc(当且仅当3b＝c时，等号成立)，∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B. 7．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由于a＝，b2＋c2－bc＝3，cos A＝＝，且A∈(0，π)，所以A＝，那么外接圆半径为R＝×＝1，所以S△ABC＝bcsin A＝·2Rsin B·2Rsin＝sin B＝sin Bcos B＋sin2B＝sin 2B＋＝＋＝sin＋.由于△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜，0＜C＝π－A－B＝－B＜，所以＜B＜，所以＜2B－＜，＜sin≤1.故＜S△ABC≤.故选A． 8．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ... ...
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