第六章 专项提升 平面向量中的最值(范围)问题 课时跟踪检测 1．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】 D 【解析】 由题图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，则＋的最小值为9. 2．已知点A(4,3)和B(1,2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为( ) A．5 B．5 C．3 D． 【答案】 D 【解析】 由题意可得＝(4,3)，＝(1,2)，则＋t＝(4,3)＋t(1,2)＝(4＋t,3＋2t)，|＋t|＝＝＝，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，|＋t|min＝. 3．已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0，整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4a·b＋|b|2＝0.将|a|＝1代入3|a|2－4a·b＋|b|2＝0，可得3－4|b|cos θ＋|b|2＝0，整理可得cos θ＝＋≥2＝，当且仅当＝，即|b|＝时，取等号，故cos θ≥，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为. 4．已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 取AC的中点O，连接OB，以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，N.设M(x,0)，－≤x≤，则＝，＝，∴·＝－x2－x－＝－2－，－≤x≤，∴当x＝时，·取最小值－，当x＝－时，·取最大值－，∴·的取值范围是，故选A． 5．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，则的最小值为( ) A． B． C．1 D．4 【答案】 B 【解析】 ∵e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，∴e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，则|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy，则＝＝＝≥＝，当且仅当＝－时，取等号．故选B. 6．如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( ) A． B． C． D．[－1,1] 【答案】 C 【解析】 不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，∴＝－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0,1]，则λμ＝－＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋，x∈[0,1]，∴λμ∈. 7．设点O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，P是线段AB上的一个动点，＝λ.若·≥·，则实数λ的取值范围是( ) A．≤λ≤1 B．1－≤λ≤1 C．≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋ 【答案】 B 【解析】 ＝λ ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝－＝(1－λ)＝(λ－1,1－λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥· (1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ) 2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋.因为P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.故选B. 8．已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 由题意可得·＝2×1×cos θ＝2cos θ，＝－＝(1－t)－t，∴2＝(1－t)22＋t22－2t(1－t)·＝(1－t)2＋4t2－4t(1－t)cos θ＝(5＋4cos θ)t2＋(－2－4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，由题意可得0＜＜，求得－＜cos θ＜0，∴＜θ＜，故选C． 9．(多选)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(λ，－1)，λ∈R，μ∈R，则( ) A．若a∥c，则λ＝ B．若(a＋2b)⊥c，则λ＝4 C．若a＝tb＋c，则λ＋t＝－4 D．|a＋μb|的最小值为 【答案】 ABD 【解析】 已知a∥c，则(－3)×(－1)＝2×λ，解得λ＝，故A正确；a＋2b＝(1,4 ... ...
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