第六章 6.3 6.3.1 课时跟踪检测 A组·基础巩固 1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的向量是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】 B 【解析】 由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底．故选B. 2．下列说法中错误的是( ) A．一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底 B．一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底 C．零向量不可以作为基底中的向量 D．一对不共线的单位向量可以作为基底 【答案】 A 【解析】 平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内，任意一对不共线的向量都可构成表示该平面内所有向量的一个基底，故A错误，B、D正确；零向量与任一向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故C正确． 3．在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设＝a，＝b，则＝( ) A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．a＋b 【答案】 A 【解析】 由题意＝－＝－＝(＋)－＝－＝－＝－a＋b.故选A． 4．(多选)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则( ) A．m＋n＝ B．m－n＝ C．2m＝3n D．3m＝2n 【答案】 ABC 【解析】 在平行四边形中＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝m＋n，所以＝＋，所以解得所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n，故选ABC． 5．(多选)点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有( ) A．＝－a－b B．＝a－b C．＝a＋b D．＝－a 【答案】 AD 【解析】 如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确．故选AD. 6.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝_____. 【答案】 【解析】 由题意，得＝(＋)．又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝. 7．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示＝_____. 【答案】 (b－a) 【解析】 由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a)． 8.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝_____.(用a，b表示) 【答案】 a＋b 【解析】 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 9．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝_____. 【答案】 9 【解析】 考虑以{，}为基底来计算．∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝·＝2－2＝×36－×16＝9. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 【解析】 (1)证明：若a，b共线，则存在k∈R，使a＝kb，则e1－2e2＝k(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线得， 所以k不存在，故a与b不共线，可以作为一个基底． (2)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. 又e1与e2是不共线的非零向量， 所以 B组·综合运用 11．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】 C 【解析】 因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC．故四边形ABCD为梯形．故选C． 12．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋ ... ...
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