专题强化训练 一、单项选择题 1．[2024·广东二模]在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 2．[2024·河南二模]已知向量，,则向量在向量上的投影向量为（ ） A. , B. C. D. , 3． （ ） A. B. C. D. 4．[2024·南通三模]已知，则（ ） A. B. C. D. 5．[2024·湖南二模]若锐角 , 满足 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6．[2024·济南二模]在中，,, ,,,,交于点，则（ ） A. B. C. D. 7．[2024·遵义一模]已知向量，，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8．[2024·邯郸二模]对任意两个非零的平面向量和，定义：，.若平面向量,满足，且和都在集合,中，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 二、多项选择题 9．[2024·重庆三模]已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 若，则，在上的投影向量相等 10．[2024·河北模拟]已知 ,,,,，则（ ） A. B. C. D. 11．[2024·济南二模]如图，在中，,,点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 当，，三点共线时， 三、填空题 12．已知平面向量，,,且与的夹角等于与的夹角，则_____. 13．已知 , 为三角形的两个内角，,，则_____. 14．[2024·天津一模]已知平行四边形的面积为，，且.若为线段上的动点，且，则实数 的值为_____；的最小值为_____. 专题强化训练（解析版） 一、单项选择题 1．[2024·广东二模]在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为四边形 为平行四边形，则有，所以. 2．[2024·河南二模]已知向量，,则向量在向量上的投影向量为（ ） A. , B. C. D. , 【答案】A 【解析】选A.向量 在向量 上的投影向量为,. 3． （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选 . 4．[2024·南通三模]已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.将原式展开得，两边同时平方得，即，解得. 5．[2024·湖南二模]若锐角 , 满足 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.. 因为 ,,, 所以,， 于是，当且仅当 时取等号，则 的最小值为. 6．[2024·济南二模]在中，,, ,,,,交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题建立如图所示的平面直角坐标系， 则,,， 由,， 得,,， 故 所在直线的方程为， 可得,， 所以. 7．[2024·遵义一模]已知向量，，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选， 其中，， 故当 时，取得最大值， 此时. 8．[2024·邯郸二模]对任意两个非零的平面向量和，定义：，.若平面向量,满足，且和都在集合,中，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 【答案】D 【解析】选D.因为,,,,， 设向量 和 的夹角为 ， 因为， 所以， 得到 ， 又，所以， 即,又 在集合,中，所以， 故,即, 又因为 ， 所以 或1， 所以 或. 二、多项选择题 9．[2024·重庆三模]已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 若，则，在上的投影向量相等 【答案】ABD 【解析】选.对于A，若，则，其中，， 若，则，，故； 若 , 有一个为零，易知与已知条件矛盾； 若 , 不为零，则，根据向量共线定理得，，故A正确； 对于B，若，两边平方得，，故B正确； 对于C，利用向量线性运算的平行四边形法则，作平行四边形，如图， 设,，则,，由 知平行四边形 为菱形，为等边三角形，所以 与 的夹角为，故C错误； 对于D，，在 上的投影向量分别是，，又，所以，故D正确. 10．[2024·河北模拟]已知 ,,,,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.对于A,由 ,,，则，，故A正确； 对于B,由 ,,， 则,，，故B错误； 对于C, ，故C正确； 对于D,由，则，故D正确. 11．[2024·济南二模]如图，在中，,,点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ... ...
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