2025年伊朗数学奥林匹克第二轮 翻译Photaesthesia Day 1 题目1.试求所有正整数n>2,使得n与它的任意一个素 因子之和都是完全平方数， 题目2.阿里和沙延在一个无穷方格表上玩一个回合制游 戏.开始时，所有方格都是白色的.阿里先手，在第一个回 合中，他将一个单位方格染成黑色.在接下来的回合中，每 名玩家必须将一个与现有的黑格有公共边的白格染成黑色： 这个游戏共进行2808个回合.结束时每名玩家恰好染黑了 1404个格子.设A是游戏结束时的黑格构成的集合.阿里 和沙延的目标分别是使图形A的周长尽可能小和尽可能大， 他们为此目标按最优策略行动.（定义所有两侧一个是黑格 一个是白格的线段长度之和为图形A的周长.) 若两名玩家都按最优策略行动，试问A的周长的可能 值为何？ 第1/3页 题目3.不等边三角形ABC的内心为I,其内部有一点P满 足 2LABP LBCA,2LACP=LCBA. 直线PB和PC分别与直线AI交于点B和C'.过点B平 行于AB的直线与BI交于点X,过点C'平行于AC的直线 与CI交于点Y.证明：三角形PXY和ABC相似. Day 2 题目4.已知不等边锐角三角形ABC的外心为O.设直线 BO和CO与从A向BC所引的高线分别交于点P和Q 点X是三角形OPQ的外心，点O'是点O关于直线BC的 对称点.点Y是三角形BXP和CXQ外接圆的第二个交点， 证明：X,Y,O三点共线 题目5.试求所有函数f:R+→R使得对所有，y,z>0,都 有 3(x3+3+)>f(x+y+z).f(xy+yz+x)>(x+y+)(xy+y+x). 题目6.阿里举办了一个大型派对.他与他的-1位朋友 一起，总共n个人按固定的顺序围坐在一张圆桌旁.阿里想 把颗放在自己面前的苹果分给大家。因为阿里和他的朋 友们不习惯独自享用食物，所以只有在某个时刻每个人都拿 到了苹果，他们才会开始进食.在每步中，每个手里有至少 第2/3页 一 颗苹果的人将一个苹果传给自己的右手边（顺时针方向） 第一个还没有苹果的人· 试求所有的正整数n,使得经过若干步后可以达到一个 每人都恰有一颗苹果的状态 第3/3页
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