建平中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若，则正整数 . 2．已知向量，且，则 . 3．曲线在处的切线斜率为 . 4．的二项展开式中的常数项为 . 5．函数在区间上的最大值是 . 6．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 . 7．某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有 种. 8．已知函数，若，则 . 9．4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有 种. 10．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是 . 11．已知＂＂为＂的一个全排列．设是实数，若＂＂可推出＂或＂，则满足条件的排列＂＂共有 个. 12．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分）第13,14题每题4分，第15，16题每题5分． 13．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）. A． B． C． D． 14．根据组合数的性质可知，（ ）. A． B． C． D． 15．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A． B． C． D． 16．若为非负整数，则方程的解有（ ）. A．83组 B．84组 C．85组 D．以上答案都不对 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第2小题满分6分. （1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列； （2）已知正整数满足，求正整数的值； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. 如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点在线段上，是切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 （1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 20．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，求． 21．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． （1）判断函数是否是上的＂函数＂，请说明理由； （2）若函数是上的＂函数＂，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的＂函数＂．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．已知＂＂为＂的一个全排列．设是实数，若＂＂可推出＂或＂，则满足条件的排列＂＂共有 个. 【答案】 【解析】分析题意，得出结论为包含于． 首先对于类似可能是这种，有种情况（包括 由于是，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离，交叉，包含3种 ①分离：此时只能在内部，或者在内部； 再考虑到，谁左谁右，总共种情况； ②交叉：比如此时由小到大的顺序为，那么实际上就是， 所以之间应该有个数字，选择4个位置中的两个给 ... ...
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