中档大题———练规范 中档大题练1(解三角形＋概率统计＋立体几何＋解析几何) 1．(本小题满分13分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin (B＋C)＝2sin2. (1)求角A； (2)若b＝3，BC边上的高为，求△ABC的周长． 2．(本小题满分15分)用1，2，3，4，5这五个数组成无重复数字的五位数，则 (1)在两个偶数相邻的条件下，求三个奇数也相邻的概率； (2)对于这个五位数，记夹在两个偶数之间的奇数个数为X，求X的分布列与均值． 3．(本小题满分15分)如图，在三棱锥A BCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，M，N分别是AD，BC的中点. (1)证明：MN⊥BC； (2)设BC＝2，AD＝2，MN和平面BCD所成的角为，求点D到平面ABC的距离． 4．(本小题满分17分)已知M为圆x2＋y2＝9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，△OMN的重心为G. (1)求点G的轨迹方程； (2)记(1)中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A，B两点，点Q(0，1)，若点H(，0)恰好是△ABQ的垂心，求直线l的方程． 参考答案与解析 第二部分 大题规范练 中档大题———练规范 中档大题练1 1．解：(1)因为A，B，C为△ABC的内角，所以sin (B＋C)＝sin A， 因为sin2＝， 所以sin (B＋C)＝2sin2＝(1－cosA)，(3分) 即sin A＋cos A＝， 即sin (A＋)＝，(5分) 因为A＋∈(，)，(易错警示：此处必须研究角的范围，才可利用正弦函数的单调性求角)(6分) 解得A＋＝，即A＝.(7分) (2)由三角形面积公式得bc sin A＝×a，(点拨：三角形的面积通过不同方法“算两次”建立边a，c的关系) 将b＝3代入得×3·c sin ＝×a，所以a＝c，(10分) 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝c2得c2＋4c－12＝0， 解得c＝2或c＝－6(舍去)， 即a＝，(12分) 所以△ABC的周长为5＋.(13分) 2．解：(1)设A＝“数字2，4相邻”，B＝“数字1，3，5相邻”，则数字2，4相邻时的五位数有AA＝48(个)，(2分) 数字2，4相邻，数字1，3，5也相邻的五位数有AAA＝24(个)，(4分) 则P(B|A)＝＝＝.(点拨：缩小样本空间法)(7分) (2)依题意X的所有可能取值为0，1，2，3，(8分) 由题意知“X＝0”表示2个偶数相邻， 则P(X＝0)＝ eq \f(AA,A) ＝，(9分) “X＝1”表示2个偶数中间共插入了1个奇数，则P(X＝1)＝ eq \f(ACA,A) ＝，(易错警示：2个偶数中间共插入了1个奇数后，作为一个整体还要与剩下的2个奇数进行全排列)(10分) “X＝2”表示2个偶数中间共插入了2个奇数，则P(X＝2)＝ eq \f(AAA,A) ＝，(易错警示：2个偶数中间共插入了2个奇数后，作为一个整体还要与剩下的1个奇数进行全排列)(11分) “X＝3”表示2个偶数中间共插入了3个奇数，则P(X＝3)＝ eq \f(AA,A) ＝，(12分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (13分) 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(15分) 3．解：(1)证明：方法一：如图1所示，取BD的中点P，连接MP，NP. 因为M，N分别是AD，BC的中点，所以MP∥AB，NP∥CD，(1分) 又AB⊥BC，BC⊥CD，所以BC⊥MP，BC⊥NP，(2分) 又MP∩NP＝P，(关键条件)MP，NP 平面MNP，所以BC⊥平面MNP，(4分) 又MN 平面MNP，所以MN⊥BC.(5分) 方法二：因为AB⊥BC，AB⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，所以AB⊥平面BCD. 如图2所示，过点B在平面BCD内作Bx∥CD，因为CD⊥BC，所以Bx⊥BC.故以B为原点，分别以直线Bx，BC，BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．(点拨：用向量法研究位置关系，需要建立坐标系时，须说明建系过程)(2分) 设AB＝a，CD＝b，BC＝c， 则A(0，0，a)，C(0，c，0)，D(－b，c，0)，M(－，，)，N(0，，0). 从而＝(，0，－)，＝(0，c，0). 因为·＝0，(4分) 所以MN⊥BC. (注意：向量问题须转化为几何问题)(5分) (2)方法一：因为AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC，即CD的长为点D到平面ABC的距离．(重要结论：为解决问题 ... ...
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