2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数的求导正确的是( ) A. B. C. D. 2．设函数的导函数为，且，则( ) A. B. C. D. 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们的结账方式有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4．若 ，则( ) A. B. C. D. 5．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是( ) A. 函数，上单调递增 B. 函数在，上单调递减 C. 函数有最小值，但是无最大值 D. 函数存在两个极值点 6．若随机变量的可能取值为，且（），则E(X)=（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知事件，，且，，，则( ) A. B. C. D. 8．已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ） A． B．e C．1 D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ） A． B． C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件 10．已知函数，则（ ） A．有一个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．依据不动点理论，下列说法正确的是( ) A. 函数有个不动点 B. 函数有个不动点 C. 若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D. 若函数在区间上存在不动点，则实数满足 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．现有一个由甲、乙、丙、丁共人组成的参观团要参观立德、树人和求实三所中学，要求每人只能参观一所学校，每所学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有 种．（用数字作答）. 13．已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 14．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15（13分）．已知函数． 求函数的单调区间与极值； 求函数在区间上的最值． 16 (15分). 一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差． (1)求； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 17（15分）．已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者. (1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05. ①求检测结果显示患有该疾病的概率； ②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字） (2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），设总居民人数为M，求取何值时，总化验次数最少？ 说明：函数先减后增. 参考数据：≈0.8858，≈0.86 ... ...
