9.2.1　向量的加减法(2) 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．2.1　向量的加减法(2) 1. 理解平面向量减法的定义及几何意义． 2. 掌握平面向量的减法运算． 3. 熟练掌握平面向量减法的三角形法则，并能正确作出两个已知向量的差向量． 活动一 了解向量减法的概念 1. 复习回顾： (1) 向量的加法运算法则是什么？ (2) 数的减法运算是如何定义的？ 2. 向量减法的概念： 利用数的减法运算和向量加法运算的定义得到向量减法的定义： 活动二　掌握向量的减法运算　 例1　如图，已知向量a，b不共线，试作出向量a－b.　 思考1 如果a∥b，那么怎样作出a－b呢？ 思考2 向量a－b＝a＋(－b)是否成立？请画图说明． 思考3 以上表明向量减法与向量加法的关系是怎样的？向量减法的几何意义是怎样的？ 例2　已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若＝a，＝b，＝c.求证：b＋c－a＝. 在平面几何中解决向量问题，一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的，同时要注意向量的加减法满足交换律和结合律． 已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M为斜边AB的中点，＝a，＝b.求证： (1) |a－b|＝|a|； (2) |a＋(a－b)|＝|b|. 例3　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|. 根据向量加减法的几何意义，可以由条件联想到用图形来解决问题． 已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若E为AC的中点，则等于　(　　) A. 　　B. 　　C. 　　D. 例4　已知两个向量a，b不共线，求证： (1) ||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|； (2) ||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|. 　　 根据平面向量的加减法的三角形法则与三角形的特征(两边之和大于第三边)，易得到向量的加减法中模的性质． 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围． 1. (教材改编)如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　) A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a＋c D. b－a－c 2. (2023东莞月考)在△ABC中，若||＝||＝|－|，则△ABC的形状为(　　) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. (多选)(2024泰安期中)下列向量的运算中，结果正确的是(　　) A. ＋＝ B. －＝ C. －＋＝0 D. －－＝0 4. (2024上海奉贤期中)已知四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，||＝1，则|－|＝_____． 5. 化简： (1) ＋＋－； (2) －＋－－. 9．2.1　向量的加减法(2) 【活动方案】 1. (1) 三角形法则和平行四边形法则． (2) 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算． 2. 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． 例1　 思考1：设＝a，＝b. ①若a与b同向，则向量a－b如图所示． ②若a与b反向，则向量a－b如图所示． 思考2：成立，如图所示． 思考3：相反运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 例2　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＝. 跟踪训练　如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||. (1) 在△ACM中，＝－＝a－b. 由||＝||，得|a－b|＝|a|. (2) 因为＝＝a－b， 所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b). 由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|. 例3　因为|a＋b|＝|a－b|， 所以|a|，|b|为一个矩形的两条邻边的长， 所以|a－b|＝＝10. 跟踪训练　B　因为向量，，，满足等式＋＝＋，所以－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，所以＝. 例4　设a＝，b＝，以OA，OB为邻边作一个平行四边形OACB(如图)，则＝a＋b，＝a－b. (1) 在△AOC中，|AO－AC|