9．2.3　向量的数量积 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．2.3　向量的数量积 9．2.3　向量的数量积(1) 1. 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积． 2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 活动一 掌握平面向量数量积的概念 1. 平面向量数量积的引入： (1) 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ (2) 一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？(在物理中这个问题是如何解决的？) 2. 向量数量积的概念： 注意：(1) 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角．如图，∠CAB不是向量与的夹角，∠DAB(即π－∠CAB)才是向量与的夹角； (2) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，正负由cos θ决定； (3) 两个向量的数量积与之前学过的数的乘法是有区别的，书写时绝不能混淆，符号“·”在向量运算中不能省略，也不能用“×”代替． 思考 实数与向量的积与向量的数量积的区别是什么？ 例1　判断下列叙述的正误，并简要说明理由． ①a·0＝0；②0·a＝0；③a·b＝|a|·|b|；④若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0；⑤若a·b＝0，则a与b至少有一个为0；⑥对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑦若a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，所以最后的值由3个量决定． 若向量a∥b，且a·b＝0，则一定有_____．(填序号) ①a＝0； ②b＝0； ③a＝b＝0； ④a＝0或b＝0. 活动二　掌握平面向量数量积的运算及应用　 例2　已知向量a与向量b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b： (1) θ＝135°； (2) θ＝60°； (3) a∥b； (4) a⊥b. 在求两个向量的数量积时，只要知道两个向量的模以及它们夹角的大小．注意两个向量平行时，夹角可能为0°，也可能为180°. 设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a与b的夹角θ. 例3　已知正三角形ABC的边长为2，设＝a，＝b，＝c，求a·b＋b·c＋c·a. 两个向量的夹角，需要把它们平移到同一个起点，否则容易搞错夹角的大小． 在△ABC中，AB＝AC，非零向量与满足·＝，试判断△ABC的形状． 活动三 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． 　　 可以看到，通过投影，由向量a得到了与向量b共线和垂直的两个向量和，三个向量a，，构成一个直角三角形．向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 例4　已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量． 投影向量也是向量，相当于一个向量在另一个向量方向上的分解． 已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，且与向量a，向量b的同方向的单位向量分别为e1和e2. (1) 向量a在向量e2方向上的投影向量为_____； (2) 向量b在向量e1方向上的投影向量为_____． 1. (教材改编)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝5，且a·b＝5，则向量a与b夹角的大小是(　　) A. B. C. D. 2. (教材改编)在△ABC中，B＝，AB＝BC＝1，则· 等于(　　) A. 1 B. C. D. 2 3. (多选)(2024秦皇岛期末)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A. 当·<0时，△ABC为钝角三角形 B. 当·>0时，△ABC为锐角三角形 C. 当△ABC为锐角三角形时，·>0 D. 当△ABC为边长为2的等边三角形时，·＝2 4. (2023淮安淮阴中学月考)在梯形ABCD中，B＝60°，AB＝3，AD∥BC，BC＝6，且·＝－，则AD的长度为_____． 5. 已知a ... ...