9．3.2 向量坐标表示与运算(1) 1. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 2. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 活动一 平面向量的正交分解及其坐标表示 问题：如图： (1) i，j为互相垂直的单位向量，请用i，j表示图中的向量，，，这三个向量是否相等？如何用坐标表示一个向量？ (2) 写出各个向量的起点和终点的坐标； (3) 探究各个向量的起点坐标、终点坐标与向量坐标之间的关系． 例1 如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标． 从原点引出的向量的坐标(x，y)就是点M的坐标． 如图，取与x轴，y轴相同方向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标． 活动二 平面向量线性运算的坐标表示 1. 平面向量的坐标运算． 根据平面向量坐标表示的几何意义及向量的运算性质思考下列问题： 思考1 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，求a＋b，a－b. 思考2 已知a＝(x，y)和实数λ，求λa. 2. 平面向量坐标运算的应用． 例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(－1，3)，B(1，－3)，C(4，1)，D(3，4)，求向量，，，的坐标． 思考3 例2中的四边形OCDA是平行四边形吗？为什么？ 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． 已知a＝(3，4)，b＝(－1，4)，求a＋b，a－b，2a－3b的坐标． 已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a. 1. (教材改编)已知O为坐标原点，若向量＝(3，2)，＝(－4，5)，则点A的坐标为( ) A. (－1，7) B. (7，－3) C. (－1，－3) D. (7，7) 2. (2024成都期中)已知点O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，P是线段AB上靠近点A的三等分点，则点P的坐标为( ) A. B. C. D. 3. (多选)(2024张家口期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(2，2)，(－2，4)，(0，0)，则另一个顶点的坐标可以是( ) A. (0，－6) B. (0，6) C. (4，－2) D. (－4，2) 4. (2024北京期中)已知O为坐标原点，点A(3，－6)，B(－5，2)，＝(＋)，则点C的坐标为_____． 5. 已知a＝(2，－4)，b＝(－1，3)，c＝(6，5)，p＝a＋2b－c，试用a，b表示p. 9．3.2 向量坐标表示与运算(2) 1. 能用坐标表示平面向量的数量积及夹角． 2. 能用坐标表示平面向量垂直的条件． 活动一 掌握平面向量数量积的坐标表示 1. 两个非零平面向量垂直的等价条件： 2. 设i，j分别是与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，则i·i＝_____，j·j＝_____，i·j＝j·i＝_____． 3. 探究：若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，i，j分别是与x轴，y轴正方向相同的单位向量． (1) 将a，b用向量i和j表示； (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 4. 平面向量数量积的坐标表示． (1) 平面向量数量积的坐标表示： 根据上述探究，如果两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么平面两向量数量积的坐标表示为： 特别地，设a＝(x，y)，则a·a的几何意义是什么？你能得到什么结论？(|a|2＝？即|a|＝？) (2) 平面内两点间的距离公式： ①已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求； ②能否用(1)的结论求|| ③||的几何意义是什么？ 根据①②③得出A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式为： (3) 两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)： ①设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角是θ，根据向量数量积的定义，如何用向量a和b的坐标来表示它们夹角的余弦？ ②特别地，若a⊥b，则向量a和b的坐标满足什么条件？ ③反之，向量a和b的坐标满足上述条件，则a⊥b成立吗？ 由此得出：a⊥b a·b＝0 _____. 活动二 掌握平面向量数量积的坐标表示的应用 例1 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，3)， ... ...
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