9．3.3 向量平行的坐标表示 能用坐标表示的平面向量共线的条件． 活动一 掌握向量平行的坐标表示 思考1 在平面直角坐标系中作出向量a＝(1，－4)与b＝(－2，8). (1) 观察它们是否平行？ (2) 观察它们的坐标间满足什么关系？ (3) 由此可以得到什么结论？能再举一些例子吗？ 思考2 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，x1，y1不同时为零，如果a∥b，那么相应向量的坐标间有什么关系？如果它们的坐标满足上述关系，那么向量a，b平行吗？ 活动二 掌握向量平行的坐标表示的应用 例1 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向的还是反向的． 根据两个向量平行的充要条件x1y2－x2y1＝0去解决问题，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标． 已知a＝(1，2)，b＝(x，1)，若a＋2b与2a－b平行，则实数x的值为_____． 例2 已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存在常数t，使得＋t＝成立？解释你所得结论的几何意义． 向量a＝(x1，y1)(a≠0)与b＝(x2，y2)平行，可以表示为x1y2－x2y1＝0，也可以表示为b＝λa. 已知a＝(1，0)，b＝(2，1). (1) 当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2) 若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求实数m的值． 例3 已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x). (1) 求实数x的值，使向量与共线； (2) 当向量与共线时，点A，B，C，D是否在同一条直线上？ 已知点A(0，－2)，B(2，2)，C(3，4)，求证：A，B，C三点共线． 1. (教材改编)已知向量m＝(1，1)，n＝(3，λ)，若m∥n，则实数λ的值为( ) A. 1 B. －1 C. 3 D. 2. (教材改编)已知A(1，2)，B(2，4)，C(m，6)三点共线，则实数m的值为( ) A. －5 B. 5 C. －3 D. 3 3. (多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( ) A. (4，8) B. (4，－8) C. (－4，－8) D. (－4，8) 4. (2024滨州月考)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，6)，若a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____． 5. 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值； (2) 若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且(d＋c)∥(a－b)，求d. 9．3.3 向量平行的坐标表示 【活动方案】 思考1：作图略． (1) 平行． (2) 1×8－(－4)×(－2)＝0. (3) 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，若x1y2－x2y1＝0，则a∥b.举例略． 思考2：x1y2－x2y1＝0，平行． 例1 由题意，得ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)， 所以3k－6＝－7，解得k＝－， 此时ka－b＝－(7，3)＝－(a＋3b)，它们是反向的． 跟踪训练 由题意，得a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，则3(1＋2x)－4(2－x)＝0，解得x＝. 例2 假设存在常数t，使得＋t＝，则t＝(－t，2t)＝－＝(－2，－3)，t无解， 所以不存在常数t，使得＋t＝成立． 几何意义：与不共线． 跟踪训练 (1) ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2). 因为ka－b与a＋2b共线， 所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，解得k＝－. (2) ＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m). 因为A，B，C三点共线，所以∥， 所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0， 解得m＝. 例3 (1) 因为＝(x，1)，＝(4，x)， 所以x2－4＝0，解得x＝±2. (2) ＝(2－2x，x－1). ①当x＝2时，＝(2，1)，＝(－2，1)， 所以点A，B，C，D不在同一条直线上； ②当x＝－2时，＝(－2，1)，＝(6，－3)， 所以＝－，且有公共点B，所以A，B，C三点共线， 所以点A，B，C，D在同一条直线上． 跟踪训练 由题意，得＝(2，4)，＝(3，6)， 所以＝，且有公共点A， 所以A，B，C ... ...
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