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课件网) 第二章 平面向量及其应用 §5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 4．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 通过学习向量的数量积，重点提升学生的数学运算，逻辑推理，数学抽象素养. 必备知识 探新知 知识点1 向量的数量积(内积) 1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角〈a，b〉＝θ，把|a||b|cos〈a，b〉称为向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____. 2．运算结果：零向量与任一向量的数量积为0；当_____时，a·b>0；当_____时，a·b<0； 当θ＝90°时，a·b＝____；当θ＝0°时，a·b＝_____；当θ＝180°时，a·b＝_____. |a||b|cos θ 0°≤θ<90° 90°<θ≤180° 0 |a||b| －|a||b| 投影向量 投影数量 2．向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度___与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的_____，或b的长度_____与a在b方向上的投影数量_____的乘积． |a| 乘积 |b| |a|cos θ 知识点3 数量积的运算性质 运算律 交换律：a·b＝_____. 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝_____. 关于加法的分配律：a·(b＋c)＝_____. 性质 ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝_____； ②a⊥b a·b＝0(其中a，b为非零向量)； ③即a·a＝|a|2，|a|＝_____； ④cos〈a，b〉＝_____； ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤_____，当且仅当_____时等号成立. b·a a·(λb) a·b＋a·c |a|·cos θ |a||b| a∥b 关键能力 攻重难 题型一 平面向量的数量积 [归纳提升] 归纳提升： 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影数量，可利用数量积的几何意义求a·b. 〉对点训练1 (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】 (1)B (2)0 －16 －16 【解析】 (1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B. 2.(1)已知向量a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，则a在b方向上的投影数量为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则2a－b在a方向上的投影数量为( ) 题型二 向量的投影数量 【答案】 (1)A (2)B 【解析】 (1)|a－2b|＝4 (a－2b)2＝16， 即a2－4a·b＋4b2＝16① |a＋2b|＝2 (a＋2b)2＝4 即a2＋4a·b＋4b2＝4② [归纳提升] 归纳提升： 一个向量在另一个向量方向上的投影数量的求法 (1)向量b在a的方向上的投影数量为|b|cos θ，向量a在b的方向上的投影数量为|a|cos θ，所以计算一个向量在另一个向量方向上的投影数量，重在求这两个向量的模与夹角． 〉对点训练2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°. 【分析】 (1)由向量数量积定义可求得a·b，根据向量数量积运算律可求得结果； (2)结合向量数量积运算律可求得|a＋b|2，由此可得|a＋b|； (3)利用向量夹角公式直接求解即可． 题型三 向量的模与夹角 [归纳提升] 归纳提升： 1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： 〉对点训练3 课堂检测 固双基 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角 ... ...
