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课件网) 第二章 平面向量及其应用 §6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 一、余弦定理 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1．借助向量的运算，探索三角形边长与角的关系． 2．会运用余弦定理及其推论解决两类基本的解三角形问题． 3．理解推广的三角形面积公式．(数学运算) 通过推导归纳余弦定理，提升逻辑推理，数学运算，数学抽象素养. 必备知识 探新知 知识点1 余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_____这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍 符号语言 在△ABC中，a2＝_____，b2＝_____，c2＝_____ 推论 在△ABC中，cos A＝_____，cos B＝_____，cos C＝_____ 减去 两 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 说明：余弦定理的理解： (1)适用范围：任意三角形． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)主要作用：余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化． 关键能力 攻重难 【分析】 (1)由余弦定理可直接求第三边； (2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长． 【答案】 (1)60 (2)4或5 题型一 已知两边及一角解三角形 [归纳提升] 归纳提升： 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 〉对点训练1 【答案】 (1)D (2)见解析 2.在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角． 【分析】 由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解． 【解析】 由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c是最大边，其所对角C为最大内角． 由余弦定理推论得： 题型二 已知三边解三角形 [归纳提升] 归纳提升： 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角． 〉对点训练2 【答案】 (1)A (2)120° 3.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 【分析】 利用余弦定理将已知等式化为边的关系． 【解析】 已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos B·cos C， ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos B·cos C， ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos Bcos C＝(bcos C＋ccos B)2＝a2， ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形． 题型三 判断三角形的形状 [归纳提升] 归纳提升： 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 〉对点训练3 在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状． 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． 4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b2＋c2－a2＝bc. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，求△ABC面积的最大值． 题型四 三角形的面积问题 [归纳提升] 归纳提升： 1．利用余弦定理求三角形面积的步骤 (1)依据已知条件，先确定应该求出哪个量． (2)选择相应的边及相应的角，利用余弦定理求出所需要的量． (3)利用面积公式求解． 2．求三角形面积的注意点 一是注意选择哪个三角形面积公式； 二是要注意三角形内角和定理的应用. 〉对点训练4 课堂检测 固双基 【答案】 D 2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．30° 【答案】 C A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答 ... ...
