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课件网) 第五章 复数 章末梳理 知识结构 理脉络 考点整合 提技能 ●题型一 有关复数的概念 1.当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z对应的点在直线x－y＝0上． 【分析】 根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可． 【解析】 (1)z∈R a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. 所以a<0或a>2.所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2. [归纳提升] 归纳提升： 复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z为虚数 b≠0；z为纯虚数 a＝0且b≠0. ●题型二 复数相等 2.已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. 【解析】 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， [归纳提升] 归纳提升： 复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题． ●题型三 复数的模及几何意义 3.已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值． 又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1. 所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，则0≤|2x－1|≤3. 所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3. [归纳提升] 归纳提升： ●题型四 复数与其他知识的综合应用 4.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z. (1)求复数z； (2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值． 【解析】 (1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为 (1，3)，(0，2)，(2，1)， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)， 则点D对应的复数z＝3＋2i. (2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根， ∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根， 即p＝12，q＝26. [归纳提升] 归纳提升： 复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇． ●题型五 复数的三角形式及运算 [归纳提升] 归纳提升： 复数z＝r(cos θ＋isin θ)即为复数的三角形式，其特点是：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺任一条件都不是三角形式，其中θ为辐角．用复数的三角形式进行乘法、除法仍得复数的三角形式，即模数相乘(除)辐角相加(减)．综合检测题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2023·新高考Ⅰ)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 A 【解析】 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A． 2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝( ) A．i B．－i C． D． 【答案】 A 【解析】 z＝＝－i，则＝i. 3．(2024·全国新高考Ⅰ)若＝1＋i，则z＝( ) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 【答案】 C 【解析】 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C． 4．已知(a＋2i)2(a∈R)是纯虚数，则|a＋i|＝( ) A． B． C．3 D．5 【答案】 B 【解析】 (a＋2i)2＝a2－4＋4ai，因为(a＋2i)2为纯虚数，所以即a＝±2，则|a＋i|＝|±2＋i|＝. 5．已知复数z1＝2－i，z2＝a＋i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( ) A．－ B． C．－2 D．2 【答案】 A 【解析】 由已知复数z1·z2＝ ... ...
