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课件网) 第五章 复数 §2 复数的四则运算 2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法加法的分配律． 3．掌握共轭复数的性质. 通过本节的学习，培养学生建立形与数的联系，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．培养学生逻辑推理，数学抽象的核心素养. 必备知识 探新知 知识点1 复数代数形式的乘法法则 (1)乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝_____ 结合律 (z1·z2)·z3＝_____ 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝_____ (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1·(z2·z3) z1z2＋z1z3 (3)复数范围内正整数指数幂的运算性质 (4)i的乘方的运算性质 一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. (5)互为共轭复数的性质 关键能力 攻重难 ●题型一 复数代数表示式的乘法运算 A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i (2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( ) A．0 B．1 (3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 【分析】 利用乘法公式进行运算． 【答案】 (1)B (2)D (3)B [归纳提升] 归纳提升： 两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 〉对点训练1 (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( ) A．2－13i B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i (2)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) 【答案】 (1)D (2)C 【解析】 (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D． (2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数； D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C． ●题型二 复数代数形式的除法运算 A．1 B．－1 C．i D．－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i， 【分析】 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行． 【答案】 (1)D (2)A [归纳提升] 归纳提升： 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式． (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 〉对点训练2 【答案】 (1)B (2)－2＋i ●题型三 实系数一元二次方程在复数范围内根的问题 3.已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根． (1)求实数a，b的值； (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明． 【分析】 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件． 【解析】 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0， (2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0. 设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2， ∴x2＝－1－i. 把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0， 则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边， ∴x2＝－1－i是方程的另一个根． [归纳提升] 归纳提升： (1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． (2)与在实数范围内对比，在复数范 ... ...
