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课件网) 第六章 立体几何初步 §5 垂直关系 5.2 平面与平面垂直 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小． 2．理解两平面垂直的定义． 3．掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用． 4．掌握平面与平面垂直的判定定理． 5．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化. 通过本节的学习，培养学生的几何直观能力，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，提升在直观感知，操作确认的基础上归纳、概括结论的素养. 必备知识 探新知 知识点1 二面角 有关概念 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为_____. 从一条直线出发的_____所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的_____，这两个半平面称为二面角的_____. 符号语言 二面角α－AB－β或α－l－β 图形语言 半平面 两个半平面 棱 面 二面角的 平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于_____的两条射线，这两条射线所成的_____称为二面角的平面角．平面角是直角的二面角称为直二面角 符号语言 ∠AOB是二面角α－l－β的平面角 图形语言 棱 角 知识点2 平面与平面垂直的定义 文字语言 (定义) 两个平面相交，如果所成的二面角是_____，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直 符号语言 _____ 图形语言 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边_____.如图所示 直二面角 α⊥β 垂直 知识点3 平面与平面垂直的性质 文字语言 (定义) 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 符号语言 α⊥β，α∩β＝MN，AB β，AB⊥MN于点B AB⊥α 图形语言 知识点4 平面与平面垂直的判定 文字语言(定义) 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言 l α，l⊥β α⊥β 图形语言 关键能力 攻重难 ●题型一 求二面角的大小 1.四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. (1)求二面角A－PD－C的平面角的度数； (2)求二面角B－PA－D的平面角的度数； (3)求二面角B－PA－C的平面角的度数； (4)求二面角B－PC－D的平面角的度数． 【分析】 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解． 【解析】 (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形， 所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD. 又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD. 所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°. (2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°. (3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. 所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°. (4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌ △PDE. 所以∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE. 所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角． 又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC． 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB. 设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a， 因为∠BEO∈(0°，90°)， 所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°. 所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°. [归纳提升] 归纳提升： 1．求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 2．作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如图所示，∠AOB为 ... ...
