第六章 §6 6.3 素养作业 提技能 A 组·素养自测 一、选择题 1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为( ) A．8∶27 B．2∶3 C．4∶9 D．2∶9 【答案】 C 【解析】 设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝.则两个球的表面积之比为＝2＝. 2．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( ) A．6∶5 B．5∶4 C．4∶3 D．3∶2 【答案】 D 【解析】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6πR2∶4πR2＝3∶2. 3．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为( ) A．27π B．π C．36π D．π 【答案】 A 【解析】 S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3，∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π. 4．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( ) A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 【答案】 B 【解析】 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，图略．在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)． 5．球面上四点P，A，B，C，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为( ) A．2πa2 B．3πa2 C．4πa2 D．6πa2 【答案】 B 【解析】 可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．∴有a＝2R，∴R＝a，∴S＝4πR2＝3πa2. 二、填空题 6．一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_____. 【答案】 【解析】 由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为. 7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为_____. 【答案】 2πa2 【解析】 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径r＝a，则表面积为4πr2＝4π×2＝2πa2. 8．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为_____. 【答案】 π 【解析】 本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π. 三、解答题 9．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm. (1)求圆锥体的高； (2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间． 【解析】 (1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)． (2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r， 由△OCD∽△ACO1得＝. ∴＝，解得r＝3. 圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即 V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)． B 组·素养提升 一、选择题 1．把一个铁制的底面半径为4，侧面积为π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为( ) A．16π B．12π C．24π D．9π 【答案】 A 【解析】 设实心圆柱的高为h，因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为2π×4×h＝π，解得h＝，则圆柱的体积为V＝π×42×＝π，设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝2，因此，该铁球的表面积为4πR2＝4π×22＝16π.故选A． 2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( ) A．16π B．20π C．24π D．32π 【答案】 A 【解析】 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知， ... ...
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