永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2025.4） 考试时间：120分钟，
组卷网，总分：150分，成绩 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则= A． B． C． D． 2．甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为 A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列如下表，若，则 P A． B． C． D． 4．一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是 A． B． C． D． 5．若数列满足，，则 A． B． C． D．9 6．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为 A． B． C． D． 7．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 （边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的概率是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．对于离散型随机变量，它的数学期望和方差，下列说法正确的是 A．是反映随机变量的平均取值 B．越小，说明越集中于 C． D． 10．已知随机变量，则下列命题正确的有 A． B． C． D．若甲投篮命中率为，则可以表示甲连续投篮6次的命中次数 11．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项正确的是 A．在第9条斜线上，各数之和为55 B．在第条斜线上，各数自左往右 先增大后减小 C．在第条斜线上，共有个数 D．在第11条斜线上，最大的数是 三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知随机变量，且，则的值为 ． 13．已知的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且，则 ． 14．函数，若不等式对任意 恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值． 16．（15分） 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，，且． （1）求点的轨迹方程； （2）过作（1）的轨迹的切线，求切线方程； （3）若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围． 17．（15分） 设函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 18．（17分） 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关 ... ...
