函数与导数必考考点 预测练 2025年高考数学三轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 函数与导数必考考点 预测练 2025年高考数学三轮复习备考 一、解答题 1．已知函数. (1)当时，直线与曲线相切，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (3)若，证明函数有两个零点． 3．已知函数，，． (1)当时，函数在处取得极值，求实数的值； (2)当恒成立时，求的最大值； (3)在（1）的条件下，证明：当时，． 4．已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围． 5．已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718. (1)判断函数的零点个数； (2)设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：. 7．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若 ，，求的取值范围； (3)证明：. 8．已知函数，． (1)若在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)当时，设，求的最大值． 9．已知函数，，. (1)若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； (2)讨论函数在区间上的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 10．已知函数，其中． (1)当时，求方程的解集； (2)若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围； (3)若是常数函数，求的值． 11．函数 (1)求的单调区间； (2)设，证明：； (3)若，，比较与2的大小，并说明理由. 12．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. (1)已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. (2)已知函数有两个零点，记作，若，证明： 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义可求切点的横坐标，从而可求切点，代入切线方程后可得参数的值； （2）原不等式即为，构建新函数，利用导数可求其最大值，故可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 设函数与直线相切的切点为， 因为直线的斜率为1，所以， 解得或（舍）,故切点为，代入切线方程， 得，所以. （2）由，得， 令，因为对任意的恒成立，所以. 则. 令，则， 因为，所以，即在为减函数， 而， 所以当时，在上为增函数， 当时，在上为减函数， 所以，所以， 所以的取值范围为. 2．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）通过，讨论导数符号，进而可求解； （3）求导确定函数单调性，确定相应最值，进而可求证； 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以． 所以曲线）在处的切线方程为，即． （2）对求导，得． 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，令，得， 所以是函数的单调递减区间， 因为在上单调递减，所以， 得，解得， 所以实数a的取值范围是． （3）令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， ． 因为，所以． 因为，所以在上有唯一零点． 又，因为，所以， 则， 所以在上有唯一零点． 综上，函数有两个零点． 3．(1) (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用函数在处取得极值得，求得实数的值，并检验极值点即可得结论； （2）因恒成立，若，则，不合题意；，整理可得，令，求导确定单调性，即可得最大值，从而得所求； （3）由（1）可知，，求导确定函数的单调性，由可得，利用单调性与不等式的性质即可证得结论. 【详解】（1）当时，， 因为时，函数在处取得极值， 所以， ∴ 则经检验是函数的极值点， ... ...