上海市大同中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分） 1．已知，，则_____ 2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为_____． 3．若，则函数的最小正周期为_____． 4．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为_____． 5．函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为_____． 6．已知为单位圆的内接正三角形，则_____． 7．已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为_____． 8．已知，，，若，，三点共线，则_____． 9．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是_____． 10．设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为_____． ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； 12．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为_____． 二、选择题（每题4分，共16分） 13．锐角的内角，的对边分别为，，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A． B．1 C． D． 15．已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则 的值为（ ） A． D． C． D．0 三、简答题（共4题，8+10+12+12=42分） 17．（本题8分，第（1）题4分，第（2）题4分） 已知向量，，，且，． （1）求与； （2）求向量与的夹角．（结果用反三角表示） 18．（本题10分，第（1）题15分，第（2）题5分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求． 19．（本題12分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分） 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） （1）求函数的表达式； （2）求该船一天内能够进入港口的时刻； （3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物4小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长． 20．（本题12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分） 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“伴随函数”，为的“伴随向量”． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分） 1．已知，，则_____ 【答案】2 2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为_____． 【答案】 3．若，则函数的最小正周期为_____． 【答案】 4．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为_____． 【答案】直角三角形 5．函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为_____． 【答案】 6．已知为单位圆的内接正三角形，则_____． 【答案】 ... ...