上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题满分40分,共有10题） 1．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ． 2．已知角的终边过点，则 ． 3. 若，则 ． 4. 已知，则 ． 5. 已知，则 ． 6．函数的严格增区间为 ． 7．已知为等腰三角形，且，则 ． 8．函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为 ． 9.若关于的方程在上有两解，则的取值范围是 ． 10．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 ． 二、选择题（本大题满分16分，共有4题） 11． （ ） A． B． C． D． 12．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 13．山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ）. A．米 B．米 C．米 D．米 14．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）. 函数的值域是， 函数的图象关于对称，函数是偶函数 ， 方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤) 15．（本题满分10分, 第（1）题5分，第（2）题5分） 已知，与的夹角，求： （1）； （2）向量和的夹角余弦值. 16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 在中，分别是角的对边，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知，，且，求： （1）的值； （2）的值． 18．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值． 四、附加题 19．（本题满分10分，第1小题满分3分，第2小题满分7分）. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为. 设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. （1）试用、和表示； （2）如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为； ②设转向中心到路边的距离为. （2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件;（1分） （b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②, ③,④。你的选择是_____。（2分） （2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道。（4分） 20．（本题满分10分，第1小题满分2分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出． 上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题满分40分,共有10题） 1．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ． 【答案】 2．已知角的终边过点，则 ． ... ...
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