浦外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若复数是纯虚数，则实数 ． 2．已知，且为第二象限角，则 ． 3．的值是 ． 4．函数的对称中心为 ． 5．已知函数是奇函数，则的最小正值为 ． 6．将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 7．已知函数，则的最小正周期为 ． 8．向量，，．若，，三点共线，则 ． 9．已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 10．已知，是两个单位向量，若，则的坐标为 ． 11．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ． 12．已知向量，，满足，，，，则的最小值是 ． 二、单选题（共18分，13至14每题4分，15至16每题5分） 13．已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A． B． C．4 D．2 14．在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 15．已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 16．已知函数，满足，且函数在是严格增函数，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（共78分） 17．（14分）已知、、分别为三角形三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求三角形外接圆的面积． 18．（14分）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得，相距． （1）求； （2）求，之间的距离． 19．（14分）已知向量，． （1）若与共线，，求，的值； （2）设函数，，求的值域． 20．（18分）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． （1）若，证明：； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 21．（18分）若函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式： （2）若当时，，求实数．的取值范围； （3）已知，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足， 则点P的轨迹是以C为圆心，1为半径是圆， 设D为AB的中点， 则 又，所以 故答案为：． 12．已知向量，，满足，，，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意设，设，则， 所以，，则， 由得，所以，所以， 所以，所以， 所以当时，取得最小值．故答案为： 也可通过数形结合加极化恒等戒得到结果 二、选择题 13.B 14.C 15.C 16.B 15．已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】由条件，展开并整理得， 故三角形为等腰三角.选C. 16．已知函数，满足，且函数在是严格增函数，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 又时，单调递增， 且 或 ① 的最小值始终在处取得，且最大值，， ②时，，和在其范围内， 即取得最大值和最小值， 综上的取值范围为．故选：B． 三．解答题 17.（1） （2） 18.（1） （2） 19.（1） （2） 20．（18分）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． （1）若，证明：； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得 （2）在等腰梯形中，由， 可得根据， 可得，结合， 可得，所以， 因为三点共线，所以向量互相平行， 可得，结合解得，故； （3 ... ...
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