第3讲 大题专攻———解三角形 题型一 利用正、余弦定理解三角形 ［例1］ [2024·新课标Ⅱ卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 求； （2） 若，，求的周长. 【答案】 （1） 【解】方法一：由， 得,所以. 因为 ，所以， 所以，故. 方法二：由， 得， 两边同时平方，得， 则， 整理得， 所以，则. 因为 ,所以 或. 当 时，成立，符合条件； 当 时，不成立，不符合条件. 故. 方法三：由， 得， 两边同时平方，得， 则， 整理得， 所以，则. 因为 ，所以. （2） 由， 得， 由正弦定理，得， 所以，因为 ，所以. ， 所以 . 方法一：由正弦定理，得,. 所以 的周长为. 方法二：由正弦定理，得， 所以 ， 所以 的周长为. 利用正、余弦定理解三角形的解题策略 （1）涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理. （2）涉及边，，的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角函数公式进行变形. （3）涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用形式的面积公式. ［对点训练］．在中，角，，的对边分别为,,,已知,,的面积为. （1） 求的值； （2） 如图，为外一点，四边形为平面四边形，且，，求对角线的长. 【答案】 （1） 解：由题知，,所以. 由余弦定理, 得，即. （2） 在 中，由正弦定理得，, 即， 所以 ， 所以在 中，由余弦定理，得. 所以. 题型二 三角形中的证明问题 ［例2］ 在中，内角,,的对边分别为,,，且. （1） 证明：； （2） 若，证明：为直角三角形. 【答案】 （1） 【证明】由 ， 可得， 所以 ， 即, 所以，即. （2） 由（1）得. 又，所以， 即 ， 故，又,所以， 所以， 即， 因为，所以 为锐角， 解得（负值舍去），即,， 所以 为直角三角形. 三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边相等，也可用作差法：左边-右边. ［对点训练］．[2024·汕头二模]在中，内角，，的对边分别为，，. （1） 若，，求的值； （2） 求证：. 【答案】 （1） 解：因为， 所以 ， 由正弦定理可得，即. 由余弦定理可得， 所以， 整理可得， 所以. （2） 证明：， 由正弦定理可得 ， 由余弦定理的推论可得 . 综上，. 题型三 解三角形中的最值、范围问题 ［例3］ [2024·德阳二模]已知的内角,,的对边分别为,,，已知. （1） 求； （2） 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】 （1） 【解】因为在 中，， 即， 而 ，,所以, 故，故， 则,所以. （2） 由（1）以及题设可得, 由正弦定理得 ， 因为 为锐角三角形， 所以,， 则，所以, 则，所以, 则， 即，则， 即 面积的取值范围为,. 解三角形中的最值、范围问题的一般步骤 ［对点训练］．在中，内角，，的对边分别为,,.已知. （1） 求； （2） 若,求周长的取值范围. 【答案】 （1） 解：由 及正弦定理， 得 . （2） 方法一：由正弦定理得，所以 . 因为，所以，则， 所以， 所以， 即,所以, 所以 周长的取值范围是. 方法二：由余弦定理, 得，当且仅当 时，等号成立，所以, 所以， 由三角形三边的性质，得, 所以,所以 周长的取值范围是. 题型四 解三角形中的综合问题 ［例4］ [2024·南通模拟]已知向量，，.设. （1） 求函数的单调递增区间； （2） 在中，若，，，的平分线交于点，求长. 【答案】 （1） 【解】. 令,， 则，，所以函数 的单调递增区间为,，. （2） 由题意得，， 因为 ， 所以, 即， 所以. 在 中，由余弦定理得，即， 解得（负值已舍去）， 因为 的平分线交 于点， 所以， 所以 ， 所以，解得. 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 ［对点训 ... ...
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