进阶点1 三角函数中 与 的求法 类型一 由三角函数的单调性求解 ［例1］ [2024·南通二模]已知函数在区间,上单调递增，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为， 又，由 ,， 得,, 所以函数 的单调递增区间为,, 由题得,,， 则, 解得, 故,解得, 的最大值为. 由函数的一个单调区间（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解 或 的取值范围，将区间端点值代入后，去对应 ，或 ，，列出不等式（组）求解.另外，因为函数在一个周期内的单调递减（增）区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出 的取值范围. ［对点训练］．[2024·广东一模]已知函数在区间,上单调，且满足，，则_____. 【答案】 【解析】依题意，， 而函数 在,上单调， 则函数 的最小正周期， 又， 且， 因此 或， 解得 或（不合题意，舍去）, 所以. 类型二 由三角函数的最值求解 ［例2］ [2024·宿迁一模]已知定义在区间上的函数的值域为，则 的取值范围为_____. 【答案】, 【解析】因为， 所以,， 其中， 相邻的后面一个使得 成立的值为， 又，所以， 解得,. 解决利用最值求 ， 的问题，主要是整体代换 ，借助正、余弦函数的图象列出关于 ， 的不等式（组），进而求出 ， 的值或取值范围. ［对点训练］ 1．[2024·广西模拟]已知函数在上有最小值没有最大值，则 的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】D 【解析】选D.依题意，, 当 时，，若 在 上有最小值没有最大值， 则 ，所以. 2．已知函数在,上恰有一个最大值和一个最小值，则 的可能取值是_____.（填一个即可） 【答案】3（或4）（给出其中1个即可） 【解析】由,，得,， 画出函数 的图象，如图： 由图可知，，解得. 因为，所以 或. 类型三 由三角函数的对称性求解 ［例3］ [2024·烟台三模]若函数的图象在,上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】若,， 则,， 因为函数 的图象在,上有且只有一条对称轴和一个对称中心，所以，解得,又，则. 利用最小正周期，根据两对称中心间的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于， ， 的方程使问题得解. ［对点训练］ 1．将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，若曲线关于点,对称，则 的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】选B.函数 的图象向右平移 个单位长度，得到曲线C的函数解析式为，由题知函数 的图象关于点,对称，所以,，解得，,又，所以 的最小值是6. 2．[2024·德州二模]将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若直线为图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意得，,又因为直线 是 图象的一条对称轴，所以 ,, 即,， 当 时，; 当 时,; 当 时，; 当 时，， 因为,所以 的最小值为. 类型四 由三角函数的零点、极值点求解 ［例4］ 已知函数在区间内恰有2个极值点和3个零点，则 的取值范围是_____. 【答案】, 【解析】由题意可得 , 令，可得, 且 的极值点即为 的极值点，因为 ，则, 由题意结合余弦函数的图象可得 ，解得，所以 的取值范围是,. 解决的零点与极值点问题通常先利用换元法求 的范围，再结合的图象列出关于 的不等式（组），进而求出 的值或取值范围. ［对点训练］ 1．[2024·河北模拟]已知函数在区间,上有且仅有3个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. , C. , D. 【答案】C 【解析】选C.由题得， 令, 即， 解得 ,, 所以 或，, 故函数的正零点从小到大排列为：,，,,, , 要使函数在区间,上有且仅有3个零点，需要满足， 解得. 2．[2024·湖南模拟]将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是函数的一个极值点，则 ... ...
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