进阶点2 带绝对值的三角函数的性质 类型一 型的三角函数问题 ［例1］ 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0 B. 为奇函数 C. 的最小正周期为 D. 在，上单调递减 【答案】D 【解析】对于A，的最小值为，所以A不正确； 对于B，由，所以函数 为偶函数，所以B不正确； 对于C，因为，，所以，则 不是 的最小正周期，所以C不正确； 对于D，当 时，，函数 在，上单调递减，又因为，，，所以函数 在，上单调递减，D正确. 解决关于的三角函数问题的关键是先判断是偶函数，其次是研究时的函数性质，最后根据偶函数的对称性即可得到时的函数性质，从而解决问题. ［对点训练］．[2024·广东二模]（多选）设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在上有6个零点 C. 的最小值为 D. 在,上单调递减 【答案】ABC 【解析】选.选项A，函数 的定义域为， 由， 可得 是偶函数，故A正确； 选项B，当 时， ， 由， 可得 或， 则当 时， 或 或， 又 是偶函数，则当 时，或 或， 则 在 上有6个零点，故B正确； 选项C，当 时， ， 则当 时，取得最小值，又 是偶函数，则 的最小值为，故C正确； 选项D，,， 则,则 在,上不单调递减，故D错误. 类型二 型的三角函数问题 ［例2］ [2024·河北一模]已知函数的最小正周期为 ，则（ ） A. 在,上单调递增 B. ,是图象的一个对称中心 C. 在,上的值域为 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】C 【解析】因为函数 的最小正周期为 ， 所以， 所以函数 ，即 . 作出函数 的图象，如图所示： 由图象可知，对于A，在,上先减后增，故A错误； 对于B，的图象无对称中心，故B错误； 对于C，为偶函数，当,时，,，所以,， 所以，所以 在,上的值域为，故C正确；对于D，图象的对称轴方程为,，故D错误. 解决有关的三角函数问题的关键点在于根据的符号构造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可. ［对点训练］ 1．函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.，由于函数 的最小正周期为 ，且为偶函数，的图象是将 在 轴下方的图象沿着 轴向上翻折，轴及 轴上方的图象不变得到的，故最小正周期为. 2．关于函数，有下述三个结论：是周期为 的函数；在,上单调递增；在上有三个零点.其中所有正确结论的编号是__. 【答案】①③ 【解析】对于①， , 则 是周期为 的函数，故①正确； 对于②，因为， , 即，则 在,上单调递增错误，故②错误； 对于③，由 得，作出函数 和 的图象如图所示： 则两个函数图象在 上的交点个数为3，故 在 上有三个零点正确，故③正确，故正确结论的编号为①③. 类型三 带双绝对值的三角函数问题 ［例3］ [2024·遵义三模]（多选）关于函数，有以下四个结论，其中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在,上单调递减 C. 方程的所有根之和为0 D. 若函数在上有且仅有5个零点，则, 【答案】BD 【解析】因为 且,所以函数 为偶函数， 当 时， , 如图，作出函数 的图象， 由图可知，函数 不是周期函数，故A错误； 函数 在,上单调递减，故B正确； 对于C，显然 不是方程 的根，当 时，方程 的根即为函数,图象交点的横坐标，因为函数 是偶函数，函数 是奇函数， 所以两个函数的交点不具有对称性， 显然方程 的所有根之和不为0，故C错误； 对于D，当 时，， 因为函数 在 上有且仅有5个零点， 所以，所以,，故D正确. 解决此类带绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是两个必备的过程.此类问题的解题步骤可以归纳为：（1）分析函数的奇偶性、周期性；（2）去绝对值，写成分段函数；（3）画出草图，结合图象和奇偶函数的对称性进行判断，包括代入必要的特殊值. ［对点训练］．若偶函数,的最小正周期为，则（ ） A. B. 的值是唯一的 C. 的最大值为 D. 图象的一条对称轴为直线 【答案】D 【解析】选D. ... ...
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