2024-2025 学年天津五十五中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 1+ .复数4+3 的虚部是( ) A. 1 125 B. 25 C. 1 D. 125 25 2.在平行四边形 中， + =( ) A. B. C. D. 3.已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是( ) A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ，则 ⊥ C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ 4.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2, = 45°, = 2，则 =( ) A. 30°或 150° B. 30° C. 150° D. 45° 5.如图所示的是用斜二测画法画出的△ 的直观图△ ′ ′ ′(图中虚线 分别与 ′轴垂直， ′轴平行)，则原图形△ 的面积是( ) A. 20 B. 40 C. 40 2 D. 10 2 6.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄 托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图， 在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心 为中心逆时针旋转 45°后的正方形组合而成，已知向量 ， ，则向量 =( ) A. 2 + 3 B. (2 + 2) + 3 C. (2 + 2) + (2 + 2) D. (1 + 2) + (2 + 2) 7.半径为 5 的球内有一个高为 8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为( ) A. 125 B. 125 C. 125 D. 125 64 64 4 4 8.已知△ 的外接圆圆心为 ，且 2 = + , | | = | |，则向量 在向量 上的投影向量为( ) 第 1页，共 7页 A. 1 B. 3 C. 1 D. 3 4 4 4 4 9.已知四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， ， 分别是 ， 上的点(不含端点)，且 // ， 则 的取值范围是( ) A. ( 2,4) B. ( 2,2) C. (1,2) D. (2,4) 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 10 .设复数 = 1 ，则| | = _____． 11.若非零向量 、 满足| + | = 5| |，且( ) ⊥ ，则 与 的夹角为_____． 12.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 1.若二面角 1的大小为 60°， 则点 到平面 1的距离为_____． 13.设点 (2,1)， ( 1,4)，若点 在直线 上，且满足| | = 3| |，则点 的坐标为_____． 14.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， 若 4 = ( 2 3 2) ，则 = _____． 15.如图， ⊥平面 ，∠ = 90°且 = ， = 2 ， 则异面直线 与 所成的角的正切值等于_____． 三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 15 分) (1)已知复数 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2) ( ∈ ).若复数 + 4 为纯虚数，求 的值； (2) = (1 + )2 + 2 已知复数 1+ ，若 2 + + = 2 + 3 ，求实数 ， 的值． 17.(本小题 15 分) △ + 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知sin = sin sin ． (1)求角 ； (2)若 = 3，cos = 63 ，求△ 的面积． 18.(本小题 15 分) 如图一个圆锥的底面半径为 1，高为 3，在圆锥中有一个底面半径为 的内接圆柱． (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)试用 表示圆柱的高 ； (3)当 为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 第 2页，共 7页 19.(本小题 15 分) 如图，已知 1 ⊥平面 ， 1// 1， = = 3， = 2 5， 1 = 7， 1 = 2 7，点 和 分别 为 和 1 的中点． (1)求证： //平面 1 1 ； (2)求证： ⊥平面 1； (3)求直线 1 1与平面 1所成角的大小． 20.(本小题 15 分) 在边长为 4 的等边△ 中， 为 边上一点，且 = 2 ． (1)若 为△ 内部一点(不包括边界)，求 的取值范围； (2)若 上一点 满足 = 2 ，过 作直线分别交 ， 于 ， 两点，设 = ， = ，△ 的面积为 1，四边形 的面积为 2，且 2 = 1，求实数 的最大值． 第 3页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 22 11. ... ...
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