2024-2025 学年上海市普陀区宜川中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设点 是正三角形 的中心，则向量 ， ， 是( ) A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量 2.函数 = sin 2的单调递增区间是( ) A. [ , + 4 4 ]( ∈ ) B. [ + , + 3 4 4 ]( ∈ ) C. [4 , 4 + ]( ∈ ) D. [4 + , 4 + 3 ]( ∈ ) 3.若| | = 3， 在 3方向上的数量投影是 2，则 , 为( ) A. 6 B. 2 3 C. 2 D. 3 4 , 0 ≤ ≤ 1 4.已知函数 ( ) = 1 2 2 ( 1), > 1 ，若函数 = ( ) + 2 ( ) + 2 在[0, + ∞)有 6 个不同零点，则 实数 的取值范围是( ) A. ( ∞, 3) ∪ ( 18 , 2) B. ( ∞, 187 7 ) ∪ (1, + ∞) C. ( 3, 2) ∪ (1, 187 ) D. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞) 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.若复数 = 1 + ( 为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数 的值为_____． 6.若 = 3 4 ， = 5 + 3 ，则 = _____． 7.函数 = sin(3 5 )的最小正周期为_____． 8 1.不等式2 +5 > 0 的解集为_____． 9 1.已知4 = 5 = 10，则 + 2 =_____． 10 1.如果 = 5，且 是第三象限的角，那么 cos( + 2 ) =_____． 11.已知 sin( + 3 12 ) = 5，则 cos(2 + 6 ) =_____． 12.一个人骑自行车由 地出发向东骑行了 6 到达 地，由 地向南东 30°方向骑行了 6 到达 地，从 地向北偏东 60°骑行了 2 3 到达 地，则 ， 两地的距离是_____ ． 13.已知函数 ( ) = 3 1 ( > 0)，若 ( )在区间(0,1]上是严格减函数，则实数 的取值范围是_____． 14.复数 满足| 5| = | 1| = | + |，则| | = _____． 第 1页，共 9页 15.已知 ， ， 是半径为 的圆 上的三点， 为圆 的直径， 为圆 内一点(含圆周)，则 + + 的取值范围为_____． 16.若存在实数 ，使函数 ( ) = cos( + ) 12 ( > 0)在 ∈ [ , 3 ]上有且仅有 2 个零点，则 的取值范 围为_____． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 已知 为复数， + 2 和2 均为实数，其中 是虚数单位． (1)求复数 ； (2)若 1 = + 1 7 1 +2 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围． 18.(本小题 14 分) 已知函数 = ( )，其中 ( ) = 4 + 2 ( ∈ )． (1)是否存在实数 ，使函数 = ( )是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当 = 1 时，若关于 的不等式 ( ) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围． 19.(本小题 14 分) 在△ 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，已知 = 2 3， = 2， 2 = 0． (1)求△ 的面积 ； (2)函数 ( ) = 4 ( + )( ∈ [0,2])，求函数 ( )的严格增区间． 20.(本小题 14 分) 如图，点 是△ 重心， 、 分别是边 、 上的动点，且 、 、 三点共线． (1)设 = ，将 用 、 、 表示； (2)设 = ， = 1 1，问： + 是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在(2) 的条件下，记△ 与△ 的面积分别为 、 ，求 的取值范围． 第 2页，共 9页 21.(本小题 14 分) 若函数 = ( )的定义域、值域均为[ , ]，则称 = ( )为[ , ]上的方正函数； (1) = 1若 22 + 3 2为区间[1, ]( > 1)的方正函数，求实数 的值； (2) 是否存在实数对( , )，使得函数 ( ) = 1+| |为区间[ , ]( < )上的方正函数？若存在，请写出符合 要求的所有实数对( , )，若不存在，请说明理由； (3)设 ( ) = 2 + + ， ( ) = 2 + ，求非负实数 的取值范围，满足：存在实数 ， ，使得 = ( )， = ( )均为[ 1,1]上的方正函数． 第 3页，共 9页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 1 6.2 + 7 7.2 3 8.( ∞, 52 ) ∪ (1, + ∞) 9.2 10.2 65 11. 725 12.2 39 13.(1,3] 14.3 2 15.[ 43 , 4] 16.[ 13 , 5 ... ...
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