2024-2025 学年北京大学附中元培学院高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.如图所示，用符号语言可表达为( ) A. ∩ = ， ， ∩ = B. ∩ = ， ∈ ， ∩ = C. ∩ = ， ， ， D. ∩ = ， ∈ ， ∈ ， ∈ 2.若复数 满足| + | = 3，则在复平面内，复数 对应的点组成图形的周长为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.已知向量 = (2,2)，则与向量 方向相反的单位向量是( ) A. (1,0) B. (1,1) C. ( 2 , 2 ) D. ( 22 2 2 , 2 2 ) 4.如图，四边形 ′ ′ ′ ′表示水平放置的四边形 根据斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 2， ′ ′ = 4， ′ ′ = 2， ′ ′// ′ ′，则 =( ) A. 6 B. 2 3 C. 6 D. 4 2 5.已知△ 是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 6.在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ： ： = 1：1：4，则 ： ： =( ) A. 1：1： 2 B. 1：1：2 C. 1：1： 5 D. 1：1： 3 7 3 5 .已知 cos( + 6 ) = 5，则 sin(2 + 6 ) =( ) A. 8 8 7 725 B. 25 C. 25 D. 25 8.如图，“六芒星”是由两个边长为 2 正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行，点 ， 是“六 芒星”(如图)的两个顶点，动点 在“六芒星”上(内部以及边界)，则 的取值范围是( ) 第 1页，共 8页 A. [ 23 , 2 3 ] B. [ 3 3 2 , 2 ] C. [ 3, 3] D. [ 2, 3] 9.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水 平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 1 = 1.00 ，之后将小 镜子前移 = 6.00 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 2 = 0.60 ，已知人的眼睛距离地面 的高度为 = 1.75 ，则钟楼的高度大约是( ) A. 27.75 B. 27.25 C. 26.75 D. 26.25 10.若函数 ( ) = 2 + 3, ∈ (0, )的两个零点分别为 1和 2，则 cos( 1 + 2) =( ) A. 3 1 1 35 B. 5 C. 5 D. 5 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 11.已知复数 满足 (3 4 ) = 1 + 2 ，则 的虚部是_____． 12.已知向量 = (1, 2)， = 5，则| |的最小值是_____． 13.若 ( ) = 2 3 + 3 1，则 ( )的最小值为_____． 14.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，若点 是棱上一点，则满足| | + | 1| = 2 的点 的个数为 _____． 15.在△ 中， = 45°，( + 3 ) = 0，以下有关于△ 的 4 个命题． ① = 1010 ； ② = 2； ③ 在 3方向上的投影向量为4 ； 第 2页，共 8页 ④若| | = 2，则 = 2． 写出全部真命题的序号：_____． 三、解答题：本题共 6 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 8 分) 已知复数 = 1 + ( ∈ , 为虚数单位)， 在复平面上对应的点在第四象限，且满足 = 4( 为 的共轭复 数)． (1)求实数 的值； (2)若复数 是关于 的方程 2 + 2 + = 0( ≠ 0，且 ， ∈ )的一个复数根，求 + 的值． 17.(本小题 8 分) 已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且 ， 的夹角为 60°． (1)求| |； (2)求 在 上的投影向量； (3)若向量 2 + 7 与向量 + 的夹角为钝角，求实数 的取值范围． 18.(本小题 8 分) 3 已知函数 ( ) = + 3cos2 2 ． (Ⅰ)求 ( )的单调递增区间； (Ⅱ)若函数 ( ) = ( ) 3 5的零点为 0，求 cos( 6 2 0)． 19.(本小题 8 分) 3 如图，在平面四边形 中，∠ = 2∠ ， = 3 = 3， = 6， = 3 ． (1)求四边形 的周长； (2)求四边形 的面积． 第 3页，共 8页 20.(本小题 9 分) 如图，市政改造工程要在道路 的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段 ，该曲线段是函 2 数 = ( + 3 )( > 0, ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
