11.1.1　余弦定理 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11.1.1　余弦定理 1. 借助向量的数量积运算，探索三角形的边角关系． 2. 掌握余弦定理，并能求解三角形中的边长与角度的大小． 活动一 探索余弦定理 思考 在三角形中，若已知两边及其夹角，如何求第三条边？你能联想到所学的哪个知识，涉及到长度与角度问题？ 结论：余弦定理： 活动二　利用余弦定理解三角形　 例1　根据下列条件解三角形． (1) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝60°，求a的值； (2) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝2，c＝2，求角A的大小． 如三角形中已知两边及夹角，或已知三边，求其他边或角时，常常使用余弦定理解决． (1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，求角A的大小； (2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b的值． 例2　在△ABC中，A＝120°，BC＝，D是AC的中点．若AB＋AC＝2，求BD的长． 认清余弦定理的特征，求边和角时，要放在恰当的三角形中解决． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＝a2＋c2－ac. (1) 求角B的大小； (2) 若a＋c＝4，求b的最小值． 1. (2023苏州中学期中)在△ABC中，若BC＝5，CA＝7，AB＝8，则△ABC的最大角与最小角之和是(　　) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 2. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝4，cos C＝，则c的值为(　　) A. 2 B. 4 C. 16 D. 2 3. (多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则的值为　(　　) A. 2 B. 3 C. D. 4. (2024山西月考)若用长度分别为1，2，a的三支木棒拼成一个钝角三角形，则实数a的取值范围为_____． 5. (教材改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝. (1) 求c的值； (2) 求cos B的值． 11．1.1　余弦定理(1) 【活动方案】 思考：平面向量的数量积． ·＝(＋)·(＋) ＝||2＋2·＋||2 ＝||2＋2||||cos (180°－A)＋||2 ＝c2－2bc cos A＋b2，即a2＝b2＋c2－2bc cos A. 同理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B， c2＝a2＋b2－2ab cos C. 结论：cos A＝，cos B＝， cos C＝，a2＝b2＋c2－2bc cos A， b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C. 例1　(1) 在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋1－6×＝7， 所以a＝. (2) 在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝＝－， 所以A＝120°. 跟踪训练　(1) 由b2＋c2＝a2＋bc， 得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝. 又0°