11.3.1　余弦定理、正弦定理的应用 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11.3.1　余弦定理、正弦定理的应用 熟练应用正、余弦定理解三角形． 活动一 巩固正弦定理和余弦定理 1. 复习正弦定理和余弦定理： 2. 常见结论：在△ABC中， ①A＋B＋C＝π； ②sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，cos ＝sin ，sin ＝cos ； ③S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B. 活动二　掌握解三角形中的边角问题及面积问题　 例1　已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC. 正、余弦定理体现了三角形的边角关系，根据已知条件，选择适当的定理及定理的变形形式去解决． (1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝5，c＝5，B＝30°，求角C，A的大小及a的值； (2) 在四边形ABCD中，A＝120°，B＝D＝90°，BC＝5，CD＝8，求四边形ABCD的面积． 例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a＝b＋c，sin2A＝sinB sin C，试判断三角形的形状． 利用正、余弦定理将条件中的边角关系转换为边的关系或角的关系，从而判断三角形的形状． (1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2b cos C，试判断三角形的形状． (2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，试判断三角形的形状． 活动三 掌握三角形中的综合问题 例3　在△ABC中，已知cos ∠ABC＝，AB＝，AC边上的中线BD＝，求sin A的值． 灵活使用正、余弦定理去解决三角形中的边、角及面积问题． 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，外接圆半径为.求： (1) 角C的大小； (2) △ABC面积的最大值． 1. (教材改编)在△ABC中，已知CA＝3，CB＝5，C＝120°，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 2. (2023镇江扬中中学期中)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2b cos A＝c，则△ABC的形状是(　　) A. 等腰直角三角形 B. 等腰钝角三角形 C. 等边三角形 D. 以上结论均不正确 3. (多选)(2024沈阳期中)已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，则下列结论中正确的是(　　) A. 四边形ABCD为梯形 B. 四边形ABCD的面积为 C. 圆O的直径为7 D. △ABD的三边长度满足AD＋BD＝2AB 4. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝4，则△ABC的面积为_____． 5. (2024武汉期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且6S＝a(b＋c). (1) 若sin B＝，求cos A的值； (2) 若a＝3，A＝60°，求S的值． 11．3.1　余弦定理、正弦定理的应用(1) 【活动方案】 1. 正弦定理：＝＝； 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C. 例1　在△ABC中，根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即49＝64＋c2－16c·， 整理，得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5. ①当c＝3时，S△ABC＝ac sin B＝×8×3×＝6； ②当c＝5时，S△ABC＝ac sin B＝×8×5×＝10. 跟踪训练　(1) 在△ABC中，根据正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝， 所以C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，A＝90°，a＝10； 当C＝120°时，A＝B＝30°，a＝b＝5. (2) 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，则AC为直径，∠BCD＝60°. 在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD＝25＋64－2×5×8×＝49， 所以BD＝7. 在△BCD中，＝2R＝AC， 所以AC＝， 所以AD＝＝，AB＝＝， 则S△ACD＝AD·DC＝××8＝，S△ABC＝AB·BC＝××5＝， 所以S四边形ABCD＝. 例2　在△ABC中，由sin2A＝sinB sin C，得a2＝bc. 又2a＝b＋c， 两边平方，得b2＋c2＋2bc＝4a2＝4bc， 即(b－c)2＝0，所以b＝c. 又2a＝b＋c＝2b，所以a＝b， 所以a＝b＝c ... ...