12．1　复数的概念 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．1　复数的概念 1. 经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创新的过程以及数学发生、发展的客观需求． 2. 通过方程的求解，理解引入复数的必要性． 3. 理解复数的基本概念以及复数相等的含义． 活动一 了解数系的发展史 阅读课本相关内容，回答下列问题： 问题1：我们已经学过的数集经历了哪几次扩充？ 问题2：每一次扩充解决了哪些问题？ 问题3：这几次扩充有什么共同的特点？ 问题4：我们说，实系数一元二次方程x2＋1＝0没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．解决这一问题，其本质就是解决以下问题串：什么叫方程无解？方程是否有解与什么相关？有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中有解？ 问题5：怎样将实数集进行扩充，使得 x2＝－1 之类方程在新的数集中有解？ 活动二　理解复数的基本概念　 1. 虚数单位的引入． (1) 虚数单位： (2) 对i的规定： 2. 复数的有关概念． (1) 什么是复数？ (2) 如何对复数进行分类？ 例1　完成下列表格(分类一栏填“实数”“虚数”或“纯虚数”). 4 2－3i 0 －＋i 6i i2 实部 虚部 分类 只有当a，b∈R时，a＋bi中的a称为实部，b称为虚部． 当m为何实数时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是：　 (1) 实数？ (2) 虚数？(3) 纯虚数？(4) 0 思考1 a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充分条件吗？ 活动三　理解复数相等的充要条件　 思考2 两个复数满足什么条件时相等？ 例2　已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，求实数x，y的值． 　　 1. a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R) 2. a＋bi＝0(a，b∈R) 3. 利用复数相等的定义可将复数问题实数化. 若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，求实数m的值． 1. (教材改编)以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　) A. 3－3i B. 3＋i C. －＋i D. ＋i 2. (教材改编)已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i，(a，b∈R，i为虚数单位)，且z1＝z2，则下列结论中正确的是(　　) A. a＝－1，b＝1 B. a＝2，b＝－3 C. a＝2，b＝3 D. a＝－2，b＝3 3. (多选)(2024泰州期中)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列命题中错误的是(　　) A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若z＝3－2i，则a＝3，b＝2 C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. 若a＝b＝0，则z不是复数 4. (2023广州第五中学月考)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为_____． 5. (教材改编)已知i是虚数单位，当复数z＝(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i分别满足下列条件时，求实数m的取值范围． (1) z为实数； (2) z为虚数； (3) z为纯虚数． 12．1　复数的概念 【活动方案】 问题1：为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，等等． 问题2：引入了负数，数集扩充到整数集，解决了小数不能减大数的问题； 引入了分数，数集扩充到有理数集，解决了除法只能整除的问题； 引入了无理数，数集扩充到实数集，解决了开方的结果可能不是有理数的问题． 问题3：从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾． 问题4：略 问题5：为了使方程x2＋1＝0有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”开始． 1. (1) 我们引入一个新数i，叫作虚数单位． (2) ①i2＝－1； ②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 2. (1) i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足 ... ...