第三章 第九节　函数与导数中的创新性问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第九节　函数与导数中的创新性问题 1.（2024·临沂一模）已知函数sgn（x）＝则“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，则下列命题中不正确的是（　　） A.任何一个三次函数都有“拐点” B.任何一个三次函数的图象都有对称中心 C.任何一个三次函数都有极值 D.三次函数的“拐点”就是对称中心 3.〔多选〕已知△ABC的面积为1，AB的平行线分别交AC，BC于点D，E，连接BD，△DCE，△DBE，△DBA的面积分别记为S1，S2，S3，则（　　） A.max{S1，S2，S3}的最小值为 B.max{S1，S2，S3}的最小值为 C.max{S1，S2，S3}的最大值为 D.min{S1，S2，S3}的最大值为 4.〔多选〕在直角坐标系xOy中，对于点（x，y），定义变换σ： 将点（x，y）变换为点（a，b），使得其中a，b∈（－，），这样变换σ将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线，如图，则下列说法中正确的是（　　） A.函数y1＝2x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是② B.函数y2＝x2（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是① C.函数y3＝ex（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是③ D.函数y4＝ln x（x＞0）在坐标系xOy内的图象变换为坐标系aOb内的曲线是④ 5.设定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若存在m，n∈N*（m＜n），使得mf（x）＜xf'（x）＜nf（x）恒成立，则称f（x）具有“可构造性”. （1）当m＝2，n＝3时，f（x）具有“可构造性”，求的取值范围； （2）对于常数m，n∈N*（m＜n），f（x）具有“可构造性”，求的取值范围. 6.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f'（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝. （1）求曲线f（x）＝ln x在（1，0）处的曲率； （2）已知函数g（x）＝cos x＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最大值. 7.（2025·湖北七市州联合测试）微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f（x）＝（x＞0），f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，如图，从几何上看，定积分dx便是由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f（x）＝（x＞0）所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得dx＝ln b－ln a，易知曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP＜S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：＞. （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：＜； （2）已知函数F（x）＝mx2＋nx＋xln x，其中m，n∈R.证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝F（x）在点（x1，F（x1））和点（x2，F（x2））处的切线均不重合. 第九节　函数与导数中的创新性问题 1.B　当sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0时，取x＝－，则ex－1＜0，－x＋1＞0，此时sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝－1＋1＝0，则x＞1不成立，即充分性不成立；当x＞1时，ex－1＞0，－x＋1＜0，所以sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝1－1＝0，即必要性成立.所以“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的必要不充分条件. 2.C　f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f″（x）＝6ax＋2b，令f″（x）＝0，则此方程为一元一次方程，解得x＝－，而f（－－x）＝－f（－＋x） ... ...