第三章 第六节　不等式的证明（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第六节　不等式的证明 1.（2024·茂名期中）已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝1－.求证：当x＞0时，f（x）≥g（x）. 2.已知函数f（x）＝ex2－xln x.求证：当x＞0时，f（x）＜xex＋. 3.（2025·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝aln（x－1）＋，其中a为正实数.证明：当x＞2时，f（x）＜ex＋（a－1）x－2a. 4.已知函数f（x）＝ex－x－1. （1）求证：f（x）≥0； （2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立. 第六节　不等式的证明 1.证明：令h（x）＝f（x）－g（x），则h（x）＝ln x＋－1（x＞0）， 那么h'（x）＝－＝，令h'（x）＝0，得x＝1， 当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增， 所以当x＝1时，h（x）取得最小值，即h（x）≥h（1）＝0，即ln x＋－1≥0， 所以当x＞0时，f（x）≥g（x）. 2.证明：要证f（x）＜xex＋，因为x＞0，所以只需证ex－ln x＜ex＋，即证ex－ex＜ln x＋. 令h（x）＝ln x＋（x＞0），则h'（x）＝， 易知h（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 则h（x）min＝h（）＝0，所以ln x＋≥0. 再令φ（x）＝ex－ex，则φ'（x）＝e－ex， 易知φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 则φ（x）max＝φ（1）＝0，所以ex－ex≤0. 因为h（x）与φ（x）不同时为0， 所以ex－ex＜ln x＋，故原不等式成立. 3.证明：设h（x）＝ln x－（x－1），则h'（x）＝－1，令h'（x）＝0，得x＝1.当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＜0， 所以h（x）在x＝1时取得极大值亦即最大值h（1）＝0. 因此h（x）＝ln x－（x－1）≤0，即ln x≤x－1. 所以当x＞2时，有ln（x－1）＜x－2.又因为a＞0， 所以f（x）＝aln（x－1）＋＜a（x－2）＋， 所以要证f（x）＜ex＋（a－1）x－2a成立，只需证明a（x－2）＋＜ex＋（a－1）x－2a， 整理得ex－x－＞0. 令g（x）＝ex－x－，则g'（x）＝ex－1＋， 因为x＞2，所以g'（x）＞0，即g（x）在（2，＋∞）上单调递增， 于是g（x）＞g（2）＝e2－2－＝e2－4＞0，故原不等式成立. 4.证明：（1）f'（x）＝ex－1，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）min＝f（0）＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f（x）≥0. （2）令g（x）＝ex－mx＋cos x－2，则g'（x）＝ex－m－sin x， 由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1， 又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－sin x＝x－sin x. 令h（x）＝x－sin x，则h'（x）＝1－cos x， 当x≥0时，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0， 则g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增， 当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋cos x－2≥0， 所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立. 1 / 2第六节　不等式的证明 重点解读 　　在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题. 作差构造法 （师生共研过关） （2024·南平阶段练习）已知函数f（x）＝2x－ln x－1，求证：当x＞1时，f（x）＜ex－1恒成立. 解题技法 作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 1.证明：1－cos x≤. 2.（2025·乌鲁木齐第二次质量监测）已知f（x）＝（2x＋1）ln x－，曲线f（x） ... ...