第三章 第七节　函数零点问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第七节　函数零点问题 1.已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋b2（b＜0）在x＝－1处有极值，且极值为8，则f（x）的零点个数为（　　） A.1　　　　 B.2 C.3　　　　 D.4 2.已知函数f（x）＝（x＋2）ex－m有两个零点，则m的取值范围是（　　） A.（－，0） B.（－，＋∞） C.（0，＋∞） D.（－∞，0） 3.〔多选〕（2024·福州质检）已知函数f（x）＝x3－3ax＋2有两个极值点，则（　　） A.f（x）的图象关于点（0，2）对称 B.f（x）的极值之和为－4 C. a∈R，使得f（x）有三个零点 D.当0＜a＜1时，f（x）只有一个零点 4.已知函数f（x）＝ea－x＋＋4x－ln（x＋4）＋存在零点，则实数a的值为　　　　. 5.已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2. （1）求函数的单调区间； （2）求f（x）的零点个数. 6.已知函数f（x）＝x3－12x＋m. （1）若f（x）有两个零点，求m的值； （2）若f（x）仅有一个零点，求实数m的取值范围； （3）若f（x）有三个零点，且m∈Z，求m的最大值与最小值. 7.已知函数f（x）＝ln x－x＋2sin x，f'（x）为f（x）的导函数. （1）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点； （2）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点. 第七节　函数零点问题 1.C　由题意得f'（x）＝3x2＋2bx＋c，因为函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋b2（b＜0）在x＝－1处有极值，且极值为8，所以f（－1）＝－1＋b－c＋b2＝8，f'（－1）＝3－2b＋c＝0，解得或（舍去），故f（x）＝x3－2x2－7x＋4，f'（x）＝3x2－4x－7＝（x＋1）（3x－7），当x∈（－∞，－1）或（，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（－1，）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减.又因为f（－3）＜0，f（－1）＞0，f（）＜0，f（4）＞0，所以f（x）有3个零点，故选C. 2.A　函数f（x）＝（x＋2）ex－m有两个零点，等价于直线y＝m与g（x）＝（x＋2）ex的图象有两个交点.g'（x）＝（x＋3）ex.则当x＜－3时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞－3时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，则g（x）min＝g（－3）＝－，又x→＋∞时，g（x）→＋∞，x→－∞时，g（x）→0，所以m的取值范围为（－，0）. 3.ACD　f（x）的图象可由奇函数g（x）＝x3－3ax的图象向上平移2个单位长度得到，故f（x）的图象关于点（0，2）对称，选项A正确.设f（x）的极值点分别为x1，x2（x1＜x2），则由对称性可知x1＋x2＝0，f（x1）＋f（x2）＝2×2＝4，即f（x）的极值之和为4，选项B错误.f'（x）＝3x2－3a，依题意，关于x的方程3x2－3a＝0有两个不同的根，则a＞0，x1＝－，x2＝，当x＜－时，f'（x）＞0，当－＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，所以f（x）在区间（－∞，－）上单调递增，在区间（－，）上单调递减，在区间（，＋∞）上单调递增.又当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，所以作出f（x）的大致图象如图，由图象可知， 当f（x2）＝f（）＜0，即a＞1时，f（x）的图象与x轴有三个交点，即 a∈R，使得f（x）有三个零点，选项C正确.当0＜a＜1时，f（）＝a－3a＋2＝2（1－a）＞0，此时f（x）只有一个零点，选项D正确.综上，选A、C、D. 4.ln－3　解析：由f（x）＝0得ea－x＋＝ln（x＋4）－－4x，设g（x）＝ea－x＋，h（x）＝ln（x＋4）－－4x，x＞－4，则h'（x）＝－x－4＝，由h'（x）＞0得－4＜x＜－3，由h'（x）＜0得x＞－3，所以h（x）在（－4，－3）上单调递增，在（－3，＋∞）上单调递减，所以h（x）≤h（－3）＝.g（x）＝ea－x＋≥2＝，当且仅当a－x＝x－a＋2ln，即x＝a－ln时，等号成立.因为f（x）有零点，则a－ln＝－3，所以a＝ln－3. 5.解：（1）由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2）， 令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln 2， 令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln 2；令f'（x）＞0，解 ... ...