第三章 第五节　不等式中的恒（能）成立问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第五节　不等式中的恒（能）成立问题 1.（2025·西安高新一中、安康中学等校联考） x∈[1，2]，ln x＋－1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.[e，＋∞） B.[1，＋∞） C.［，＋∞） D.[2e，＋∞） 2.设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　） A.［－，1） B.［－，） C.［，） D.［，1） 3.（2024·哈尔滨模拟）设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式emx≥恒成立，则m的最小值为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 4.（2024·浙江Z20名校联考）已知函数f（x）＝＋2x2，g（x）＝2m－ln x，若关于x的不等式f（x）≤xg（x）有解，则m的最小值是　　　　. 5.已知函数f（x）＝－ax2＋ln x（a∈R）.若存在x∈（1，＋∞），f（x）＞－a，求a的取值范围. 6.已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax. （1）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的最小值； （2）若函数g（x）＝，对 x1∈［，2］， x2∈［，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围. 第五节　不等式中的恒（能）成立问题 1.C　因为 x∈[1，2]，ln x＋－1≥0恒成立，所以a≥－x2ln x＋x2在x∈[1，2]上恒成立，所以a≥（－x2ln x＋x2）max（x∈[1，2]）.令μ（x）＝－x2ln x＋x2，x∈[1，2]，则μ'（x）＝－2xln x－x＋2x＝－2xln x＋x＝x（－2ln x＋1）.令μ'（x）＝0，得x＝，当x∈[1，）时，μ'（x）＞0，故μ（x）在[1，）上单调递增，当x∈（，2]时，μ'（x）＜0，故μ（x）在（，2]上单调递减，故μ（x）的最大值为μ（）＝.所以a≥，即实数a的取值范围为［，＋∞）.故选C. 2.D　设g（x）＝ex（2x－1），y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使g（x0）在直线y＝ax－a下方.因为g'（x）＝ex（2x＋1），所以当x＜－时，g'（x）＜0，当x＞－时，g'（x）＞0，所以当x＝－时，g（x）min＝－2，g（0）＝－1，g（1）＝e＞0，直线y＝ax－a的斜率为a且恒过定点（1，0）.由已知a＜1，故－a＞g（0）＝－1，所以由题意需g（－1）＝－3e－1≥－a－a，解得≤a＜1，故选D. 3.A　∵m＞0，emx≥，∴memx≥ln x，当0＜x≤1时，不等式显然成立，当x＞1时，原不等式可变形为mxemx≥xln x＝eln x·ln x，设函数g（x）＝xex（x＞1），g'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞1时，g'（x）＞0，∴当x＞1时，g（x）单调递增，则不等式emx≥恒成立等价于g（mx）≥g（ln x）恒成立，即mx≥ln x恒成立，m≥（）max，设G（x）＝，x＞1，则G'（x）＝，当1＜x＜e时， G'（x）＞0，当x＞e时，G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，则G（x）max＝G（e）＝，则m≥，即m的最小值为.故选A. 4.　解析：由f（x）≤xg（x）得＋2x2≤x（2m－ln x），因为x＞0，所以2m≥＋2x＋ln x＝e－2x－ln x－（－2x－ln x）有解.令t＝－2x－ln x，则t∈R，令g（t）＝et－t，则g'（t）＝et－1，所以当t＜0时，g'（t）＜0，当t＞0时，g'（t）＞0，所以g（t）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以g（t）min＝g（0）＝1，即e－2x－ln x－（－2x－ln x）≥1，所以2m≥1，则m≥，即m的最小值是. 5.解：由f（x）＞－a， 得a（x2－1）－ln x＜0，x∈（1，＋∞）， －ln x＜0，x2－1＞0. 当a≤0时，a（x2－1）－ln x＜0，满足题意； 令g（x）＝a（x2－1）－ln x（x＞1）， 则g'（x）＝， 当a≥时，g（x）在（1，＋∞）上单调递增， 则g（x）＞g（1）＝0，不符合题意； 当0＜a＜时， 由g'（x）＞0，得x∈（，＋∞）， 由g'（x）＜0，得x∈（1，）， 于是有g（x）在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， g（x）min＝g（）＜g（1）＝0. 则当0＜a＜时， x∈（1，＋∞），g（x）＜0. 综上，a的取 ... ...