第三章 考教衔接　从教材经典题到高考试题的衍变过程展示（课件 学案，共2份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

　从教材经典题到高考试题的衍变过程展示 　　《中国高考报告》指出，高考命题会以教材中的知识为蓝本进行改造，既可以实现对基础知识的考查，又可以引导学生回归教材，从而减轻学习负担，提高学生学习的针对性和有效性.教材是课程标准的重要载体，更是高考命题的重要题源之一，在教材中有很多具有深度的“探究”、例题、习题、阅读材料等，如果能够充分利用好这些内容，既有助于学生数学学科核心素养的有效形成与提升，又能提高高三数学复习课的学习效率. 　　本文将依据人A选二P89例4的结论1－≤ln x（x＞0）；P94练习2题，证明不等式x－1≥ln x，x∈（0，＋∞）；P99习题12题，利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）ex＞1＋x（x≠0）；（2）ln x＜x＜ex（x＞0）；四个经典不等式为母题，展示高考真题的命制过程与衍变规律. 一、教材经典题的挖掘与拓展 由上述四个不等式，再结合人A必修一P256复习参考题26题介绍的泰勒公式可推出下列不等式： ①当0＜x＜1时，1＋x＜ex＜1＋x＋x2＋x3＋…＋xn＋…＝（无穷递缩等比数列）； 将①两边取自然对数，得 ②ln（1＋x）＜x＜ln ＝－ln（1－x）； 将②右半部分x＜－ln（1－x）中的x用替换可得 ③＜－ln＝ln（1＋x）； 综合②③可得 ④＜ln（x＋1）＜x（0＜x＜1）； 注意上述①～④均是在0＜x＜1时成立. 事实上，①可以加强为如下两个不等式： ⑤ex≥1＋x（x∈R）； ⑥ex≤（x＜1）； ④可以加强为 ⑦≤ln（1＋x）≤x（x＞－1）. 二、例析高考题的衍变过程 1.由ln（x＋1）＜x（x＞－1）编拟高考题 （1）用替换方法编拟 编拟思路 因为当x＞－1时，ln（x＋1）＜x，令x＝（n≥1，n∈N*），用替换x得ln＜，即ln（1＋n）－ln n＜. 由此可编拟出函数不等式的证明题. （往届高考真题节选）求证对任意正整数n，不等式ln（1＋n）－ln n＜都成立. （2）用累加方法编拟 编拟思路 因为当x＞－1时，ln（x＋1）＜x，令x＝（n≥1）得 ＞ln＝ln ＝ln（n＋2）－ln（n＋1）， 所以＝1－＜1－ln（n＋2）＋ln（n＋1）， 分别取n＝1，2，…，n，累加得 ＋＋…＋＜（1－ln 3＋ln 2）＋（1－ln 4＋ln 3）＋…＋[1－ln（n＋2）＋ln（n＋1）]＝n＋ln 2－ln（n＋2）＝n－ln . 由此可以编拟出数列不等式的证明题. （往届高考真题）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜n－ln . 2.由ex≥1＋x编拟高考题 （1）由变形方法编拟 编拟思路 当x＞－1时，由ex≥1＋x＞0，变形取倒数，可得e－x≤.从而1－e－x≥1－，即1－e－x≥. 由此可编拟出函数不等式的证明问题. （往届高考真题节选）设函数f（x）＝1－e－x，求证：当x＞－1时，f（x）≥. 证明过程同上编拟思路（略）. （2）由放缩方法编拟 编拟思路 因为ex≥1＋x，所以ex－x≥1，从而（ex－x）2≥1，借助均值不等式≤a2＋b2可得≤＝[（ex－t）＋（t－x）]2≤（ex－t）2＋（t－x）2＝e2x－2t（ex＋x）＋x2＋2t2. 故≤e2x－2t（ex＋x）＋x2＋2t2＋1. （往届高考真题）已知函数f（x）＝e2x－2t（ex＋x）＋x2＋2t2＋1.证明：f（x）≥. 证明过程同上编拟思路（略）. （3）由x－1≥ln x（x＞0）与ex＞1＋x融合编拟 （往届高考真题节选）已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）.求证：当m≤2时，f（x）＞0.（现已编为人A选二P104复习参考题18题） 3.由≤ln（1＋x）≤x编拟高考题 （1）由ln（1＋x）≤x变形放缩方法编拟 编拟思路 因为ln（1＋x）≤x，所以当x＞－1时，两边同除以1＋x变形为≤. 所以x－≥x－＝＝（1＋x）＋－2≥2－2＝0.（利用基本不等式放缩） 令f（x）＝x－，则f（x）≥0，等号当且仅当x＝0时取得. 由此可编拟出求函数最值的填空题. （2025·湖南长郡中学模拟题节选）设 ... ...