专题04 解三角形图形类问题（6大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（人教A版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题04 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：同角余弦相等列方程 题型二：两次使用正弦定理 题型三：中线问题 题型四：角平分线问题 题型五：高问题 题型六：外接圆与内切圆问题 【知识点梳理】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：同角余弦相等列方程 【例1】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，． (1)求的值； (2)若测得，求待测径长． 【变式1-1】（2025·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且. (1)求； (2)若，求. 题型二：两次使用正弦定理 【例2】（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【变式2-1】（2025·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【变式2-2】（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)若，求的取值范围． 题型三：中线问题 【例3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【变式3-1】（23-24高一下·广东中山·期中）在中，满足 (1)求； (2)若，边上的中线，，求的周长和面积. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 题型四：角平分线问题 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【变式4-1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，角的平分线与AC交于点，且，求边的值． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 题型五：高问题 【例5】（2025·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 【变式5-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，BC边上的中线，求BC边上的高． 【变式5-2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为， (1)若，解三角形： (2)若角且的外接圆半径为． ①求的面积； ②求边上的高． 题型六：外接圆与内切圆问题 【例6】（22-23高一下·河南南阳·期中）如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）某数学兴趣 ... ...