专题5 旋转中的全等模型 母题学大招9手拉手模型 1[2024 浙江杭州期末,中]图(1)是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片 ABC 和 C'DE 叠放在一起(C与C'重合)组成的图形. (1)操作:固定△ABC,将△C'DE 绕点 C 按顺时针方向旋转20°,连接AD,BE,如图(2),线段BE 与AD 之间具有怎样的数量关系 证明你的结论. (2)操作:若将图(1)中的△C'DE,绕点 C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图(3)，线段BE与AD 之间是否仍符合(1)中的结论 若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系. (3)根据上面的操作过程，请问当α为多少度时 线段AD 的长度最大 最大值是多少 当α为多少度时，线段AD 的长度最小 最小值是多少 子题练变式 2[2024 浙江宁波校级期末，中]【基础巩固】(1)如图(1),在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证:△AEC≌△ADB. 【尝试应用】(2)如图(2),在△ABC 与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B,D，E三点在一条直线上，AC与BE 交于点 F，若点F为AC中点， ①求∠BEC 的大小; ②若CE=2,求△ACE的面积. 母题学大招10 半角模型 3[2024上海闵行区质检，中]如图，正方形ABCD中,E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=45°,连接 EF,这种模型属于“半角模型”中的一类.在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的解题方法.例如将△ADF绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG,则可以证明“EF=BE+DF”,请写出证明过程. 子题练变式 含60°的半角模型 4[2024 江苏南京质检,中]已知四边形 ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕 B 点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F. (1)当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE =CF 时(如图(1)),AE,CF,EF 之间的数量关系为 (2)当 E 在AD 上,F 在 DC上,但AE≠CF 时(如图(2))，(1)中结论是否成立 请说明理由. (3)当 E在AD 延长线上，F在DC延长线上时(如图(3))，(1)中结论是否成立 若不成立，线段AE，CF，EF之间又有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想. 母题学大招11 费马点模型 5[2024江苏扬州期末，较难]背景资料： 在已知△ABC 所在平面上求一点 P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小. 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”， 如图(1),当△ABC三个内角均小于120°时,费马点 P 在△ABC 内部,此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,此时,PA+PB+PC的值最小. 解决问题： (1)如图(2),等边△ABC 内有一点 P,若点 P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数. 为了解决本题，我们可以将△ABP 绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线段 PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；基本运用： (2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图(3),△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°,判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明； 能力提升： (3)如图(4),在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点 P 为 Rt△ABC 的费马点,连接AP,BP,CP,求PA+PB+PC的值. 手拉手模型是指两个顶角相等的等腰三角形顶角的顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形，如图所示. 1.【解】( 证明： 绕点 C 按顺时针方向旋转 与 是等边三角形，∴CA=CB,CE=CD, ∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD. (2)是. 证明：∵△C'DE 绕点 C 按顺时针方向旋转的角度为α， ∴∠BCE=∠ACD=α. ∵△ABC 与△C'DE是等边三角形, ∴CA=CB,CE=CD, ∴△BCE≌△ACD, ∴BE=AD. (3)当点 D 旋转到 CA 的反向延长线上，即α=180°时，线段AD的长度最大，最大值为a+ b.当点 D 在AC边上,即α=0°时,线段AD的长度最小，最小值为a-b. 2.(1)【证明】∵ ∠BAC=∠DAE,∴ ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠CAE= ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
