2024-2025学年北师大版数学必修第二册 第4章 §2.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 同步练习(含详解)

第四章　§2　2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 一、选择题 1．cos－sin的值是(　　) A．0 B． C．－ D．2 2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰非直角三角形 3．若tan(α－β)＝，tan β＝，则tan α＝(　　) A．1 B． C． D． 4．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　) A． B．－ C．7 D． 5．已知sin α－cos β＝－，cos α＋sin β＝，则sin(α－β)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 6．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　) A． B．－ C．或－ D．－或 7．已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　) A．＋ B．－ C．＋ D．－ 8．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　) A．对任意的角α，β都成立 B．α＝β＝0时成立 C．只对有限个α，β的值成立 D．有无限个α，β的值使等式成立 9．(多选)下列式子结果为的是(　　) ①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③；④. A．① B．② C．③ D．④ 10．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于(　　) A．－ B． C．－ D．3 二、填空题 11．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则cos(α－β)＝_____. 12．＝_____. 13．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为_____. 14．已知0<β<α<，sin αsin β＝，cos αcos β＝，则cos 2α＝_____. 15．在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝_____. 三、解答题 16．已知α∈，β∈，tan α＝，tan β＝. (1)求α＋β的值； (2)求sin(2α＋β)的值． 17．已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－， (1)求cos 2α的值； (2)求角β－α的值． 18．是否存在锐角α和β，使得下列两式 ①α＋2β＝π　②tantan β＝2－同时成立？ 第四章　§2　2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 一、选择题 1．B 　cos－sin＝2＝2＝2sin＝2sin＝. 2．C 由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝，∴△ABC是直角三角形． 3．A 　tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝1. 4．C 易知tan α＝－.tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝＝7. 5．D 　因为sin α－cos β＝－，cos α＋sin β＝，所以(sin α－cos β)2＝，(cos α＋sin β)2＝，所以sin2α－2sin αcos β＋cos 2β＝，cos 2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，所以sin2α－2sin αcos β＋cos 2β＋cos 2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，所以2－2sin αcos β＋2cos αsin β＝，2－2(sin αcos β－cos αsin β)＝，所以2－2sin(α－β)＝，解得sin(α－β)＝，故选D． 6．B 　由韦达定理得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝＝＝，又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－. 7．D 　tan α－tan β＝3，且α－β＝，则－＝＝＝＝3，整理得：cos αcos β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，整理得sin αsin β＝－，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＋＝－.故选D． 8．BD 　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立． 9．ABC 　对于①，利用正切的变形公式可得原式＝；对于②，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°) ... ...