第四章 §3 3.1 素养作业 提技能 A组·基础自测 一、选择题 1．给出的下列函数中，是对数函数的是( D ) A．y＝logx2 B．y＝log3(x－1) C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx [解析] A、B不是对数函数，因为对数的真数不是x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数．故选D． 2．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( A ) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 [解析] 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax，则loga4＝2，解得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.故选A． 3．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( A ) A．(1，4] B．(1，4) C．[1，4] D．[1，4) [解析] 由题意得所以1
0得x>，所以函数的定义域为. 7．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是 (－2，2) . [解析] 由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－21)，则x＝，所以f(t)＝lg (t>1)，所以f(x)＝lg (x>1)．故选B． 2．(多选题)函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x2)＝2f(|x|) B．f(2x)＝f(x)＋f(2) C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x) [解析] ∵函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax(a>0，且a≠1)． ∴f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，故B对，D错； f(x2)＝logax2＝loga|x|2＝2loga|x|＝2f(|x|)，故A对； f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，故C对．故选ABC． 3．(多选题)关于函数f(x)＝ln，下列说法中正确的有( ) A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)为奇函数 C．f＝1 D．对任意x1，x2∈(－1，1)，都有f (x1)＋f (x2)＝f [解析] 函数f(x)＝ln ，其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0， 解得－1＜x＜1，所以定义域为{x|－1＜x＜1}，所以A错误；由f (－x)＝ln ＝ln －1＝－ln ＝－f(x)，故f(x)是奇函数，所以B正确；f＝ln e＝1，所以C正确；f(x1)＋f(x2)＝ln＋ln ＝ln ＝f.所以D正确．故选BCD． 二、填空题 4．函数f(x)＝ln(x>1)的反函数f－1(x)＝ ，x∈(0，ln 2) . [解析] x>1，0<<1，1<＋1<2，所以y＝f(x)∈(0，ln 2)，由y＝ln得x＝， 交换x，y得y＝，所以f－1(x)＝，x∈(0，ln 2)． 5．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(x)＝_log2(x＋2)__，f(30)＝_5__. [解析] 由题意可得loga8＝3，所以a＝2，故f(x)＝log2(x＋2)，f(30)＝log232＝5. 三、解答题 6．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围． [解析] 因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a.因为当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．所以3－2a>0，所以a<.又a>0且a≠1，所以0