第六章平面向量及其应用 综合测试 考试时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的是( ) A．－＝ B．＋＝0 C．0·＝0 D．＋＋＝ 2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋( ) A． B． C． D． 3．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于( ) A．1 B．2 C．4 D．1或4 4．已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( ) A．－6 B．－5 C．5 D．6 5．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D的北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( ) A． B． C． D．6 8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( ) A．2 B．0 C．－1 D．－2 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( ) A．(4，－8) B．(8,4) C．(－4，－8) D．(－4,8) 10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角则( ) A．a＝b B．a·(a＋b)＝b·(a＋b) C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b| 11．若△ABC为钝角三角形，且a＝2，b＝3，则边c的长度可以为( ) A．2 B．3 C． D．4 12．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( ) A．||＝|| B．||＝|| C．·3＝· D．·＝· 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝___；a·b＝___. 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ . 15．(2023·华侨、港澳台联考)在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则cos B＝ . 16．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝ . 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 18．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 19．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a＝2，_____. (1)求角A； (2)求△ABC的周长l的范围． 注：在①m＝， n＝，且m·n＝－， ②(2b－c)cos A＝acos C， ③f(x)＝cos xcos－， f(A)＝. 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 20．(本小题满分12分)一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C． (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发达到C，求∠CAB的大小． 21．(本小题满分12分)△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠F ... ...
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