6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 一、 单项选择题 1 若点A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A. (3，2，1) B. (1，3，2) C. (2，1，3) D. (1，2，3) 2 在空间直角坐标系中，A(1，2，1)，B(0，0，2)，C(2，1，3)，则A，B，C三点所在平面的一个法向量n的坐标是( ) A. (1，1，－1) B. (1，－1，－1) C. (2，1，－1) D. (2，－1，－1) 3 (2024济宁月考)已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(，，)，则下列四个点中在平面α内的是( ) A. P1(1，－1，1) B. P2(1，－3，) C. P3(1，3，) D. P4(－1，3，－) 4 已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5 已知点M(4，3，1)，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是( ) A. a>b>c B. c>a>b C. c>b>a D. b>c>a 6 (2024菏泽期末)一平面截正四棱锥PABCD，与棱PA，PB，PC，PD的交点依次为A1，B1，C1，D1，已知PA1＝PA，PB1＝PB，PC1＝PC，PD1＝λPD，则λ的值为( ) A. B. C. D. 二、 多项选择题 7 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝2，E为PD的中点，若以A为坐标原点，以，的方向分别为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则下列说法中正确的是( ) A. 点B的坐标为(，－1，0) B. ·＝2 C. ＝(－，2，1) D. 平面ACE的一个法向量为n＝(1，，－) 8 (2024重庆期末)类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系Oxyz中的一个平面的方程，如果平面α的一个法向量n＝(a，b，c)，已知平面α上定点P0(x0，y0，z0)，对于平面α上任意点P(x，y，z)，根据⊥n可得平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，则下列说法中正确的是( ) A. 若平面α过点(1，1，1)，且一个法向量为(1，1，1)，则平面α的方程为x＋y＋z－3＝0 B. 若平面α的方程为6x－2y－2z－3＝0，则a＝(－3，1，1)是平面α的一个法向量 C. 方程3x－2y＝0表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D. 关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 三、 填空题 9 (2024西安期末)已知＝(m，－2，1)，若直线AB的一个方向向量为(1，2，－1)，则m＝_____． 10 如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量为n＝_____． 11 已知平面α的一个法向量n＝(3，2，1)，点P0(1，2，3)，P(x，y，z)在平面α内，则3x＋2y＋z＝_____． 四、 解答题 12 (2024江苏月考)已知点A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0). (1) 写出直线BC的一个方向向量； (2) 设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 13 (2024湖南月考)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 1. D 因为点A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，所以直线l的一个方向向量＝(2，4，6).又因为(1，2，3)＝(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量． 2. B 由题意，得＝(－1，－2，1)，＝(1，－1，2).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1). 3. C 设平面α内任意一点P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2).因为平面α的一个法向量为n＝(，，)，所以(x－2)＋(y＋1)＋(z－2)＝0，整理，得3x＋y＋2z－9＝0，对 ... ...
