6．3.3 空间角的计算(1) 一、 单项选择题 1 (2024抚州期中)已知点O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(－1，1，2)，C(－1，0，－1)，则异面直线OC与AB所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2 (2024中山期中)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为( ) A. B. C. D. 3 (2024海南期中)在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB，E是BC的中点，F是棱SD上一点(不含端点)，满足＝λ.若异面直线AE与CF所成角的余弦值为，则实数λ的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4 (2024福州期末)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足＝＋，则直线AC与平面A1DP所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 5 (2024广西期末)在如图所示的空间直角坐标系Axyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABCA1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1A＝AB＝2，直线PA和底面ABC所成的角为，则点P的坐标满足( ) A. x2＋y2＝ B. x2＋y2＝2 C. x2＋y2＝3 D. x2＋y2＝4 6 如图，D是正方体的一个“直角尖”OABC(OA，OB，OC两两垂直且相等)的棱OB的中点，P是BC的中点，Q是AD上的一个动点，连接PQ，则当AC与PQ所成的角最小时，AQ∶QD等于( ) A. B. C. D. 2 二、 多项选择题 7 (2024日照期末)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，C1D1的中点，则下列说法中正确的是( ) A. BC1∥AE B. 三棱锥C1BB1D的体积为 C. 直线AF与直线BE所成角的余弦值为 D. 直线BB1与平面BDC1所成角的正弦值为 8 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则下列说法中正确的是( ) A. 直线AD与直线BC所成角的大小为90° B. 直线AB与直线CD所成角的余弦值为 C. 直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D. 直线AD与平面BCD所成角的大小为60° 三、 填空题 9 在空间直角坐标系Oxyz中，若平面ABC的一个法向量为m＝(0，2，1)，直线AP的一个方向向量为n＝(1，1，1)，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值为_____． 10 (2023华南师大附中期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为_____． 11 (2024南昌期末)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q在线段B1C上运动，则直线C1Q与平面A1C1D所成角的正弦值的取值范围为_____． 四、 解答题 12 (2023广州期末)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，E是BB1的中点．求： (1) BD1与AE所成角的余弦值； (2) BD1与平面ACE所成角的正弦值． 13 (2024运城期中)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M是棱PD上的动点，N是棱AB上的一点，且＝，CD＝PD＝2AD＝PC. (1) 求证：MN⊥AC； (2) 若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点M的位置． 6．3.3 空间角的计算(2) 一、 单项选择题 1 已知△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 2 (2024焦作月考)如图，过二面角αlβ内一点P作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角αlβ的大小为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3 (2024孝感期中)在空间中，经过点P(x0，y0，z0)，法向量为e＝(A，B，C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x，y，z)满足的关系式)为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.用此方法求得平面α和平面β的方程，化简后的结果分别为x＋2y－z＝1和x－2y＋3z＝4，则这两平面夹角的余弦值为( ) A. B. － C. D. － 4 (2024台州月考)如图，将正方形ABCD纸片沿对角线BD翻折，若E，F分别为BC，AD的中点，O为原正方形ABCD的中心，使 ... ...
